- Oggetto:
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Analisi Matematica 3 (DM 509) - a.a. 2010/11
- Oggetto:
Anno accademico 2010/2011
- Codice dell'attività didattica
- MFN0133
- Docenti
- Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 509
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso presenta alcuni elementi della teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e le nozioni di base sulle funzioni di una variabile complessa. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i teoremi fondamentali sulle soluzioni di un problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria e sulle funzioni analitiche. Inoltre, saprà studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un’equazione differenziale, calcolare integrali con il metodo dei residui, risolvere esercizi di applicazione della teoria ed interpretare criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
- Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale.
- Saper calcolare un integrale con il metodo dei residui.
- Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni in campo complesso, usando le serie di potenze.
- Oggetto:
Programma
(a) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.
- Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
- Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. Lemma di Gronwall.
- Dipendenza continua della soluzione dai dati. Equazione alle variazioni.
(b) Funzioni di una variabile complessa.
- Richiami sulle serie di potenze. Trascendenti elementari in campo complesso.
- Funzioni olomorfe: definizioni e prime proprietà. Le equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Proprietà della somma di una serie di potenze.
- Teorema di Liouville. Teorema del massimo modulo. Teorema fondamentale dell'algebra. Definizione di residuo. Calcolo dei residui. Teorema dei residui.
- Indice di un cammino chiuso. Teorema di Cauchy. Teorema di Morera. Zeri di funzioni olomorfe. Classificazione dei punti singolari di una funzione olomorfa. Parte principale di una funzione olomorfa.
- Serie di Laurent. Sviluppabilità delle funzioni olomorfe in una corona circolare in serie di Laurent. Relazione tra l'indice di un cammino chiuso ed il numero di zeri di una funzione olomorfa. Cenni al concetto di omotopia. Teorema della mappa aperta. Teorema di Rouché.(a) Ordinary differential equations: qualitative theory.
- Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon
- Extension of solutions. Global existence. Gronwall lemma.
- Continuous dependence from data. Variation equation.
(b) Functions of a complex variable.
- Power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
- Holomorphic functions. Cauchy-Riemann equations. Harmonic functions. Properties of the sum of a power series.
- Index of a path w.r.t. a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Zeros of holomorphic functions and their classification. Principal part of a holomorphic function. T
- Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Maximum principle and open mapping theorem. Laurent series Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.
- Laurent series. Some notions on homotopy. Rouché theorem.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
E. Buzano. Una breve introduzione alla teoria delle funzioni di una variabile complessa. Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica.
Pagani-Salsa. "Analisi Matematica 1-2". Masson Editore.
Rudin. "Analisi reale e complessa". Bollati e Boringhieri Editore.
Spiegel. "Teoria ed applicazioni delle variabili complesse". Collana Schaum.
Salsa-Squellati. "Esercizi di Analisi Matematica 2 (Parte terza)". Masson Editore.
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Note
ANALISI MATEMATICA 3, MFN0133 (DM509), 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante), Ambito Formazione analitica
Modalità di verifica/esame: prova scritta seguita da una prova orale. Le iscrizioni alle prove scritte verranno aperte una decina di giorni prima della data dell'esame.
Il programma dettagliato e altre informazioni sono disponibili su http://www.dm.unito.it/personalpages/capietto/AnalisiTre1011.html
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Altre informazioni
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/home.pl/View?doc=Orario_LT.html- Oggetto:
