- Oggetto:
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Algebra con Elementi di Logica (DM 270) - a.a. 2010/11
- Oggetto:
Anno accademico 2010/2011
- Codice dell'attività didattica
- MFN0334
- Docenti
- Prof. Andrea Mori (Titolare del corso)
Prof. Domenico Zambella (Titolare del corso)
Dott. Cristiana Bertolin (Tutor) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/01 - logica matematica
MAT/02 - algebra - Mutuato da
- SSD: 3 cfu MAT/01, 6 cfu MAT/02
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Per la parte di Algebra il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dello studio delle strutture algebriche astratte iniziato con il corso del primo anno generale con particolare attenzione ai fenomeni legati alla non-commutatività ed al concetto fondamentale di azione. Queste conoscenze sono basilari e propedeutiche a tutta la matematica moderna, sia teorica che applicata.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà essere in grado di risolvere esercizi sulla teoria di base e padroneggiare gli esempi significativi che verranno illustrati nel corso.
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Programma
Algebra
Estensioni algebriche e trascendenti. Il campo dei numeri algebrici. Cenni sulla trascendenza di e e di π e sull’impossibilità della quadratura del cerchio. Il teorema fondamentale dell’Algebra.
Il teorema di omomorfismo per gli anelli e sue applicazioni.
Domini euclidei, PID, UFD.
Esempi di anelli non commutativi (anello delle matrici, algebre di quaternioni)
Corpi e teorema di Wedderburn.
Gruppi ciclici e loro struttura.
Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi.
Struttura dei gruppi abeliani finiti.
Azione di un gruppo su un insieme. Stabilizzatori e orbite. Formula di Burnside.
Altri argomenti (tempo permettendo):
Semplicità del gruppo alterno su almeno 5 lettere.
Non invertibilità del Teorema di Lagrange. I p-gruppi. Teoremi di Cauchy e Sylow.
Lettere, alfabeti e parole. Gruppi liberi. Presentazione di un gruppo libero come generatori e relazioni.
Elementi di Logica
Strutture e linguaggi del prim'ordine.
Termini, formule, insiemi definibili.
Teorie, elementarità, analisi non standard.
Reticoli, filtri e dualità.
Ultraprodotti e compattezza.
Algebra
Algebraic and transcendental extensions. The field of algebraic numbers. An overview of the transendence of e and π and the impossibility of squaring the circle. The fundamental theorem of Algebra.
The homomorphism theorem for rings and applications.
Euclidean domains, PIDs, UFDs.
Examples of non-commutative rings (the ring of matrices, quaternion algebras).
Skew-fields and the theorem of Wedderburn.
Cyclic groups and their structure.
Laterals of a subgroup. Lagrange’s theorem. Group conjugation. Normal subgroups. Quotient group. Group homomorphisms.
Structure of finite abelian groups.
Group actions. Stabilizers and orbits. Burnside’s formula.
Other topics as time permits:
Simplicity of the alternating group on 5 letters at least.
Non-invertibility of the theorem of Lagrange. p-groups. The theorems of Cauchy and Sylow.
Letters, alphabets and words. Free groups. Presentation of a group as generators and relations.
Elements of logic
Testi consigliati e bibliografia
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M. Artin, Algebra (Boringhieri) G. M. Piacentini-Cattaneo, Algebra, Decibel (Zanichelli) 1996 A. Mori, Lezioni di teoria dei gruppi, note manoscritte (distribuite online)
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Note
ALGEBRA CON ELEMENTI DI LOGICA, MFN0334 (DM 270) , 9 CFU: 6 CFU, MAT/02, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica. 3 CFU, MAT/01, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.
Modalità di verifica/esame: L’esame consiste di una prova scritta (risoluzione di alcuni problemi, esposizione di argomenti di teoria). A discrezione dei docenti, l'esame scritto portà essere seguito una discussione orale.
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