Analisi Matematica 1

Oggetto:

Analisi Matematica 1

Oggetto:

Anno accademico 2007/2008

Codice dell'attività didattica

MF013

Docenti

Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso)
Prof. Camillo Costantini (Esercitatore)

Corso di studi

Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l'Assicurazione

Anno

1° anno

Periodo didattico

Primo semestre

Tipologia

Di base

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/05 - analisi matematica

Oggetto:

Obiettivi formativi

Finalità
Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, alle equazioni differenziali, allo studio di successioni e serie numeriche.
Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente allapplicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.

Obiettivi
Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare, di problemi di integrazione di equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine, di discutere il carattere di successioni e di serie numeriche; di sapere enunciare e dimostrare correttamente i teoremi di base dellAnalisi Matematica. Tutto questo con lobiettivo di preparare lo studente allapplicazione delle tecniche analitiche alle discipline scientifiche.

Oggetto:

Programma

Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita

Pre-requisiti (in ingresso)	Insegnamenti fornitori
Equazioni algebriche, disequazioni, trigonometria, esponenziali e logaritmi.	Nozioni base di Matematica impartite nelle Scuole Medie Superiori e richiamate nel Precorso di Analisi Matematica

Competenze minime (in uscita)	Insegnamenti fruitori
Fondamenti dell’Analisi Matematica sulle funzioni di una variabile reale (calcolo differenziale ed integrale), risoluzione di equazioni differenziali elementari, studio delle successioni e delle serie numeriche.	Tutti gli insegnamenti successivi della LT in Matematica sono da considerarsi fruitori, dato il carattere fondamentale del corso.

1. I numeri reali.

• Richiami elementari di logica ed insiemi.
• Richiami e precisazioni sui numeri reali.
• Irrazionalità di √2.
• Maggioranti, minoranti, estremo superiore ed inferiore.
• L’assioma di completezza.
• Intervalli ed intorni. La topologia della retta: insiemi aperti e chiusi.
• I numeri naturali ed il principio di induzione.
• Fattoriale, coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton.
• Calcolo combinatorio.
• Il numero e.
2. Funzioni (fra insiemi e non solo di una variabile reale).
• Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.
• Insiemi numerabili. Numerabilità dei numeri razionali, non numerabiltà dei numeri reali.
• Grafico di una funzione.
• Funzioni monotone. Funzioni composte, funzioni inverse.
• Richiami e precisazioni su potenza, esponenziale, logaritmo.
• Le funzioni iperboliche e loro inverse.
• Il numero π.
• Funzioni periodiche, funzioni trigonometriche e loro inverse.
• Operazioni elementari sui grafici di funzione: traslazioni, rotazioni, riflessioni, ecc.
• Grafici di semplici funzioni composte e di funzioni inverse.
3. Limiti e continuità (per funzioni di una variabile reale).
• Definizione di limite e di continuità.
• Limiti e continuità delle funzioni monotone.
• Continuità della funzione inversa.
• Teorema della permanenza del segno.
• Proprietà algebriche dei limiti.
• Limiti per confronto.
• Limiti fondamentali.
• Limiti delle funzioni composte.
• Esercizi sul calcolo dei limiti delle funzioni elementari.
• Classificazione delle discontinuità.
• Proprietà delle funzioni continue in un intervallo:

– Teorema di Weierstraß.

– Teorema dell’esistenza degli zeri. Immagine continua di un intervallo.

– Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor.

4. Calcolo differenziale (in una variabile).

• Definizione di derivata.
• Differenziale come applicazione lineare.
• Derivate delle funzioni elementari.
• Proprietà algebriche delle derivate.
• Derivata delle funzioni composte.
• Derivata delle funzioni inverse.
• Esercizi sulle derivate delle funzioni elementari.
• Derivate successive.
5. Applicazioni del calcolo differenziale.
• Punti critici ed estremi.
• Teoremi di Rolle, Lagrange ed applicazioni.
• Teorema di de L’Hôpital.
• Ordini di infinitesimo e di infinito.
• Simboli O e o.
• Formula di Taylor.
• Formule di Taylor di alcune funzioni elementari.
• Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti.
• Monotonia e derivata prima.
• Punti di non derivabilità. Teorema di Darboux.
• Convessità, concavità, flessi e derivata seconda.
• Asintoti.
• Studio e rappresentazione schematica del grafico di una funzione.
6. Calcolo integrale (in una dimensione).
• Integrale secondo Riemann di una funzione limitata.
• Proprietà di linearità, additività e monotonia dell’integrale.
• Integrabilità delle funzioni continue.
• Legame fra derivata e integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
• Integrazione per parti.
• Cambiamento della variabile d’integrazione.
• Funzioni integrali e primitive.
• Integrali indefiniti.
• Primitive di alcune funzioni elementari.
• Metodi di integrazione indefinita.
• Integrali di funzioni razionali.
• Teorema di Liouville sulle funzioni non integrabili elementarmente.
• Integrali impropri o generalizzati.
7. Teoria elementare delle equazioni differenziali.
• Equazioni differenziali e modelli (dinamica delle popolazioni, equazione della molla, ecc.).
• Metodi risolutivi per le equazioni lineari, a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, ecc.
• Equazioni differenziali lineari del second’ordine a coefficienti costanti. L’oscillatore armonico.
• Il metodo della variazione delle costanti per le equazioni non omogenee.
8. Successioni e serie numeriche.
• Successioni e loro limiti.
• Successioni monotone.
• Sottosuccessioni convergenti, massimo e minimo limite.
• Teorema di Bolzano-Weierstraß.
• Successioni definite per ricorenza ed applicazioni.
• Il metodo di Newton e della tangente.
• Punti di accumulazione e successioni caotiche.
• Serie a termini non negativi e relativi criteri di convergenza: del confronto, del rapporto e della radice.
• Successioni e serie di Cauchy.
• I numeri reali come completamento del campo dei numeri razionali.
• Serie ed integrali impropri.
• Dimostrazione della formula di Stirling
• Convergenza delle serie a termini qualsiasi:

– Serie assolutamente e semplicemente convergenti.

– Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno.

– Criterio di convergenza di Dirichlet: convergenza delle serie trigonometriche.

• Successioni e serie di Cesàro.
• Riordinamento dei termini di una serie.

Descrizione

Testi consigliati e bibliografia

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