Corso di laurea in matematica

Analisi Matematica II - a.a. 2008/09

Anno accademico 2008/2009

Sommario insegnamento

• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici

Programma

La derivata di una funzione: definizione, significato geometrico e fisico. Derivata destra, derivata sinistra. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili (dim). Differenziale ; la differenziabilità come condizione equivalente alla derivabilità (dim).

Punti di non derivabilità : angolosi, cuspidi, a tangente verticale.

Algebra delle derivate (dim); derivata della funzione composta (dim), derivata della funzione inversa (dim).

Derivate d’ordine superiore.

FUNZIONI DERIVABILI IN UN INTERVALLO

Massimi e minimi relativi; teorema di Fermat (dim). Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy (dim).

Conseguenze del teorema di Lagrange: criteri di monotonia mediante il segno della derivata prima; condizioni sufficienti per gli estremi relativi: metodo di crescenza e decrescenza.

L’esistenza del limite finito della derivata come condizione sufficiente per la derivabilità (dim) e generalizzazione al caso infinito. Studio del grafico di funzione e schema relativo.

LA FORMULA DI TAYLOR

Formula di Taylor con il resto di Peano (dim).Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di limiti di forme indeterminate.

Formula di Taylor con il resto di Lagrange (dim). Calcoli numerici approssimati.

Covessità, concavità, flessi: metodi di studio mediante la derivata seconda.

Teorema delle derivate successive per lo studio degli estremi relativi (dim)

Teorema delle derivate successive per lo studio dei flessi (dim).

INTEGRAZIONE

Costruzione dell’integrale di Riemann : definizione, proprietà.

Criterio di integrabilità; teorema di integrabilità delle funzioni continue (dim);teorema di integrabilità delle funzioni monotone (dim).

Integrale orientato. Funzioni primitive e loro caratterizzazione (dim).Teorema della media (dim).Teorema su continuità e lipschitzianità della funzione integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim).

Tabella degli integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione: decomposizione in somma, parti, sostituzione.

INTEGRALI IMPROPRI

Integrali impropri su intervalli non limitati. Integrali impropri di funzioni non limitate. Esempi fondamentali.

Studio del carattere dell’integrale per funzioni di segno costante: teorema del confronto,(dim), criterio dell’ordine di infinitesimo e di infinito.(dim).

Studio del carattere dell’integrale per funzioni di segno qualsiasi: criterio dell’assoluta integrabilità .

SERIE NUMERICHE

Definizione. La serie di Mengoli, la serie geometrica, la serie armonica, la serie armonica generalizzata.

La condizione necessaria di convergenza;(dim), il criterio di convergenza di Cauchy.

Studio delle serie a termini di segno costante: criterio del confronto e del confronto asintotico (dim),criterio della radice e della radice asintotico, criterio del rapporto e del rapporto asintotico, criterio integrale, criterio dell’ordine di infinitesimo (dim).

Studio delle serie a termini di segno qualsiasi : criterio della convergenza assoluta (dim).

Studio delle serie a termini di segno alterno : il criterio di Leibnitz.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Generalità. Soluzione di un equazione differenziale :integrale generale, integrale particolare, integrale singolare.Problema di Cauchy.

Alcuni tipi di equazioni del primo ordine: a variabili separabili, lineari a coefficienti continui.

Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e alcuni casi di non omogenee.

 
Altro materiale didattico e il programma dettagliato del corso è reperibile sul sito:
http://math.i-learn.unito.it/

Note

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