- Oggetto:
- Oggetto:
Geometria 1
- Oggetto:
Anno accademico 2007/2008
- Codice dell'attività didattica
- M8607
- Docenti
- Prof. Gian Mario Gianella (Titolare del corso)
Prof. Andreana Zucco (Titolare del corso)
Dott. Elisabetta Ambrogio (Esercitatore)
Prof. Paola Favro (Esercitatore) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- Di base
- Crediti/Valenza
- 12
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi dell Algebra Lineare e della Geometria Analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi e teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente allapplicazione delle nozioni apprese alle altre discipline scientifiche.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lobiettivo principale e lapprendimento delle metodologie dell'Algebra Lineare e della Geometria Analitica, nel piano e nello spazio. Lo studente acquisirà, in particolare, la competenza e labilità di svolgimento degli esercizi che coinvolgono gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari, le forme bilineari, le forme quadratiche, le coniche, la Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Le nozioni descritte sono fondamentali, non solo per studi più approfonditi di Geometria e Algebra Lineare, ma anche per le loro applicazioni a tutte le discipline che si fondano sulla matematica.- Oggetto:
Programma
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)
Insegnamenti fornitori
Le nozioni di Matematica propedeutiche ai Corsi Universitari di indirizzo Scientifico.
Nozioni di base di Matematica impartite nelle scuole Medie Superiori.
Conoscenze di base di Geometria Euclidea. Concetto di relazio-ne di equivalenza in un insieme. Soluzione di sistemi di equazio-ni lineari di due o tre equazioni in due incognite.
Precorso di Algebra e Geometria
Competenze minime (in uscita)
Insegnamenti fruitori
Le nozioni di Matematica propedeutiche a Corsi
Universitari di indirizzo Scientifico.
Tutti gli insegnamenti successivi della Laurea Triennale in Matematica sono da considerarsi fruitori, dato il carattere fondamentale del corso: in particolare Corsi di Analisi e di Geometria.
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Totale Ore di Carico Didattico
Definizione ed esempi di spazi vettoriali
5
2
7
Sistemi Lineari e Matrici
4
2
6
Calcolo vettoriale nello spazio.
8
4
12
Spazi vettoriali e sottospazi.
4
3
14
Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani.
5
3
8
Applicazioni lineari
11
5
16
Forme lineari e bilineari.
5
3
8
Coniche e riduzione a forma canonica
4
4
8
Geometria Analitica nel piano.
4
4
8
Geometria Analitica nello spazio.
6
10
16
Totale
56
40
96
I filoni proposti sono: Calcolo vettoriale elementare (nello spazio) e Algebra lineare (su R e su C). Geometria analitica nel piano e nello spazio e riduzione delle coniche e delle quadriche a forma canonica (dal punto di vista affine euclideo).Algebra lineare Sistemi lineari e matrici (sia a coefficienti reali sia a coefficienti complessi). L’insieme dei numeri complessi. Rappresentazione cartesiana e polare di un numero complesso (legame con la geometria analitica nel piano). Equazioni lineari. Sistemi lineari. Sistemi equivalenti e metodo di riduzione di Gauss. Definizione di matrice. Somma di due matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto di matrici. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. Rango di una matrice ridotta per righe. Rango di una matrice qualsiasi (solo come calcolo). Teorema di Rouche-Capelli. Sistemi lineari omogenei. Matrice inversa e proprieta’. Legame tra una matrice invertibile e il rango. Calcolo della matrice inversa con il metodo di riduzione. Trasposta di una matrice. Matrici di tipo particolare: diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche, ortogonali. La traccia di una matrice quadrata. Definizione di determinante mediante la prima regola di Laplace. Proprieta’ dei determinanti. Legami tra l'inversa di una matrice ed il suo determinante. Calcolo dell’inversa e seconda regola di Laplace. Legame tra rango e determinante. Teorema di Cramer.Calcolo vettoriale nello spazio. Definizione di vettore. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Interpretazione geometrica della dipendenza, indipendenza lineare. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Cambiamento di base. Angolo tra due vettori. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Calcolo in componenti. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore e su un piano vettoriale. Il cambiamento di base nello spazio (tra basi qualsiasi, tra basi ortonormali). Le matrici ortogonali. Caso del piano: le rotazioni.Spazi vettoriali e sottospazi. Definizione di spazio vettoriale costruito su un campo (evidenziando il caso reale e complesso, ma facendo anche esempi nel caso di qualche campo finito). Sottospazi vettoriali. Sottospazi notevoli degli spazi vettoriali delle matrici. Intersezione di sottospazi. Somma di sottospazi. Somma diretta e teoremi relativi. Generatori di uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti e non. Basi e dimensione. Rango di una matrice. Teorema di nullita’ piu’ rango. Cambiamento di base. Iperpiani vettoriali. Spazio vettoriale quoziente, definizione e teoremi relativi (legame con Algebra).Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Prime proprieta’. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali. Definizione di ker f e di im f e teoremi relativi. Teorema fondamentale delle applicazioni lineari; matrice associata ad un'applicazione lineare ed equazioni di un'applicazione lineare. Determinazione di ker f e di im f. Determinazione dell'immagine e della controimmagine di sottospazi vettoriali. Teorema del Rango: ossia dim ker f + dim im f = dim V. Isomorfismi di spazi vettoriali.Il cambiamento di base come esempio di isomorfismo. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi. Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari e conseguenze. Legame tra le infinite matrici associate alla stessa applicazione lineare. Matrici simili e loro proprieta’ comuni. Definizione di autovalore, autovettore e autospazio di un'applicazione lineare. Equazione caratteristica. Somma diretta di autospazi. Relazione tra la dimensione di un autospazio e la molteplicita’ dell'autovalore relativo. Applicazioni lineari semplici e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e loro conseguenze. Il Teorema di Cayley-Hamilton (solo enunciato).Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani. Definizione di spazio vettoriale euclideo. Norma di un vettore, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angolo tra due vettori. Ortogonalita’, basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Matrici ortogonali e cambiamento di base. Definizione di spazio vettoriale Hermitiano ed esempi. Versione nel caso Hermitiano dei risultati sopra elencati. I gruppi di matrici:GL(n,R), GL(n,C), SL(n,R), SL(n,C), O(n), SO(n),U(n). Matrici Hermitane e matrici simmetriche. Definizione di endomorfismo aggiunto e di endomorfismo autoaggiunto, proprieta’. Il teorema spettrale (caso complesso e caso reale).Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale: definizione, base duale. Isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale e il suo duale nel caso degli spazi euclidei. Spazio biduale, isomorfismo canonico. Applicazione lineare trasposta, proprieta’. Forme bilineari simmetriche reali, matrice associata, relazione tra le matrici associate alla stessa forma bilineare simmetrica, dopo un cambiamento di base. Forme quadratiche e loro classificazione. Forme canoniche di una forma quadratica. Forma normale. Segnatura e Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Cenni sul caso complesso.Geometria Analitica nel piano e nello spazio:Geometria analitica nel piano.(Ripasso delle nozioni impartite nella scuola secondaria superiore se non sono state oggetto del precorso) Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimento polare, coordinate polari. Equazione della retta: rappresentazione cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette nel piano. Distanza di un punto da una retta. Asse di un segmento. La circonferenza: rappresentazione cartesiana, equazioni parametriche. Posizione reciproca retta/circonferenza e tra due circonferenze. Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Fasci di circonferenze. Studio delle equazioni di secondo grado in due incognite. Matrici associate ad una conica. Invarianti di una conica per rototraslazione del sistema di riferimento. Coniche degeneri. Classificazione affine euclidea delle coniche. Riduzione dell'equazione di una conica in forma canonica. Determinazione delle equazioni del relativo cambiamento di riferimento. Il gruppo delle isometrie del piano (affine).Geometria analitica nello spazio. Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimenti polari: coordinate cilindriche e sferiche. Il piano: rappresenatazione parametrica e cartesiana. La retta: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche. Fasci di piani. Distanze. Angoli. Perpendicolare comune a due rette sghembe. La sfera: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche: piano-sfera (piano tangente), retta-sfera. La circonferenza nello spazio: rappresentazione parametrica e cartesiana. Coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche (rigate e non). Quadrighe ridotte a forma canonica.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- I testi base consigliati per il corso sono:
1. E. Abbena, A.Fino, G.M. Gianella - Geometria e Algebra Lineare I, 14-settembre-2007.
2. P.Favro e A.Zucco - Appunti di Geometria Analitica, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica delUniversità di Torino n.25, febbraio 2004
3. P.Favro e A.Zucco - Esercizi di Geometria Analitica, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica delUniversità di Torino n.38, aprile 2006
4. M.Stoka - Corso di Geometria, II ed., Cedam, Padova 1995. - Oggetto:
Note
L'esame si svolge, di norma, come segue: prova scritta.
Eventuale colloquio orale a richiesta del docente o dello studente per una ulteriore valutazione.- Oggetto:
