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Meccanica Razionale

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Rational Mechanics

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN0360
Docenti
Prof. Claudia Maria Chanu (Titolare del corso)
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
12
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Algebra lineare e calcolo vettoriale. Calcolo differenziabile in una e più variabili, equazioni differenziali ordinarie. Primi elementi di geometria differenziale: curve e superfici, varietà in n dimensioni.

Linear algebra and vector calculus. Multivariate differential calculus, ordinary differential equations. Basic differential geometry: curves and surfaces, n-dim. manifolds.
Propedeutico a

Gli argomenti trattati sono utilizzati in tutti i successivi corsi del settore fisico-matematico.

The topics presented in this course are required in all subsequent courses in Mathematical Physics.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Gli obiettivi formativi dell'insegnamento si inquadrano in quelli previsti per il Corso di Laurea, e precisamente:

Conoscenza del metodo scientifico e padronanza delle metodologie fisiche: si prevede di sviluppare la capacità di rielaborare, adattare e utilizzare conoscenze acquisite in contesti diversi (algebra lineare, calcolo differenziale e integrale, topologia, geometria analitica delle curve e delle superfici) per costruire e usare i principali modelli matematici nell'ambito della meccanica classica e della relatività ristretta. Lo studente dovrà utilizzare e integrare fra loro nel contesto fisico-matematico proposto tutte le competenze acquisite negli insegnamenti di base e caratterizzanti del primo e secondo anno, anche adeguandosi a notazioni diverse da quelle viste in tali insegnamenti.

Capacità di tradurre in termini matematici problemi formulati in linguaggio comune e trarne vantaggio per proporre adeguate soluzioni: obiettivo dell'insegnamento è non solo la presentazione di metodi per la risoluzione di problemi di meccanica razionale, ma anche e soprattutto la comprensione del rapporto fra le proprietà di un sistema fisico e le strutture matematiche (algebriche, geometriche, analitiche) che permettono di rappresentare tali proprietà. In questo senso si prevede il raggiungimento di un certo grado di autonomia e capacità di affontare anche problemi nuovi e non solo esercizi di applicazione automatica di quanto studiato.

The educational objectives of the course are the following:

Knowledge of the scientific method and of mathematical methods of Physics: the course aims at developing the ability of employing the basic mathematical knowledge acquired in the previous courses (linear algebra, differential and integral calculus in several variables, topology, analytic geometry of curves and surfaces) to construct and apply the standard mathematical models of classical and special-relativistic point mechanics. Students are required to put together notions from different fields of mathematics, adapting to conventions and notations commonly used in mathematicsal physics.

Ability to translate in mathematical terms problems stated in common language, so to take advantage from mathematical methods to seek appropriate solutions: the course will not only present methods to solve standard exercises in classical mechanics, but also stress the relationship between the physivcal properties of a system and the mathematical structures (of algebraic, geometric and/or analytic nature) which provide an adequate representation of such properties. This should increase the ability to deal with new problems, and not only with straightforward application exercises.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione: al termine dell'insegnamento lo studente dovrà aver appreso i metodi di base (studio qualitativo di equazioni differenziali, teoria dei sistemi dinamici, algebra lineare, uso di coordinate generiche) necessari per impostare e affrontare semplici problemi di meccanica del punto vincolato; dovrà aver compreso il ruolo delle strutture (varietà differenziabili, fibrati tangenti e cotangenti, strutture di Poisson e simplettiche, spazio di Minkowski) e dei metodi generali (problemi variazionali, studio della stabilità e linearizzazione) nella modellizzazione di sistemi fisici; dovrà aver compreso i fondamenti fisici e il formalismo matematico della teoria della relatività ristretta.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine dell'insegnamento lo studente dovrà essere in grado di modellizzare di sistemi meccanici vincolati (con un numero finito di punti materiali), mediante una scelta appropriata delle coordinate nello spazio delle configurazioni, e scrivere le equazioni del moto utilizzando i concetti della meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana; dovrà essere in grado di individuare le leggi di conservazione del sistema e usarle per la ricerca di soluzioni costanti e lo studio della loro stabilitò, e per lo studio qualitativo dei moti del sistema. Dovrà essere in grado di calcolare gli effetti cinematici e dinamici dovuti alla relatività ristretta per punti materiali liberi o soggetti all'interazione elettromagnetica. Dovrà essere in grado di usare in modo consapevole e rigoroso il linguaggio geometrico-differenziale e il calcolo tensoriale applicati alla modellizzazione di sistemi fisici.

Autonomia di giudizio: al termine dell'insegnamento lo studente dovrà essere in grado di impostare e analizzare modelli matematici associati a situazioni concrete.

Knowledge and comprehension: students shall learn the main techniques (such as qualitative analysis of differential equations, dynamical systems, linear algebra, use of generic coordinates) for solving or dealing with simple problems involving the dynamics of a material point, or a system of material points; students shall recognize the importance of theorical structures (e.g. differential manifolds, tangent and cotangent bundles, Poisson and symplectic structures, Minkowsky space) and of some general methods (variational problems, stability analisis and linearization) in physical systems modelling; moreover, they shall understand the physical foundations and the mathematical forrmalism of the special relativity theory.

Application of knowledge and skills: student shall be able to model simple mechanical systems with holonomic constraints (with finite number of material points), by choosing suitable coordinates in the configuration space, and deduce the motion equations, through the theorems of Lagrangian and Hamiltonian mechanics; they shall be able to find out conservation laws and use them to determine static solutions (and to assess their stability), as well as to perform a qualitative analysis of the sytem motions.
Students shall be able to compute the kinematic and dynamic special relativistic effects for a free material particle, possibly subject to electromagnetic interaction. Students shall be able to use in a conscious and rigorous way the language of differential geometry and tensor calculus applied to physical systems modelling.

Making judgements: students should be able to choose the appropriate mathematical structures to model a class of concrete dynamical systems, and to use the mathematical model to make inferences and predictions.

 

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Programma

Meccanica lagrangiana:
Moto di un punto materiale su una superficie liscia (parametrizzazione della superficie, metrica sulla superficie, velocità, accelerazione, simboli di Christoffel, moti geodetici).
Spazio delle configurazioni per un sistema di punti materiali soggetti a vincoli poisizionali, coordinate lagrangiane e deduzione delle equazioni di Lagrange da F=ma.
Conservazione dell'energia nei sistemi lagrangiani autonomi; teorema di Noether.
Uso degli integrali primi per lo studio qualitativo delle soluzioni delle equazioni di Lagrange; equazione di Weierstrass: caso dei moti centrali. 
Principio di azione stazionaria ed equazioni di Eulero-Lagrange.
Equilibrio e stabilità per sistemi lagrangiani: teorema di Lyapunov e criterio di Lejeune-Dirichlet.
Linearizzazione intorno a una configurazione di equilibrio stabile: diagonalizzazione e piccole oscillazioni.

Meccanica relativistica:

NB Saranno approfonditi gli aspetti matematici relativi alla formulazione lagrangiana della dinamica relativistica; la discussione preliminare relativa alle trasformazioni di Lorentz è presentata tenendo conto che gli studenti con piano di studi teorico non avranno ancora frequentato l'insegnamento di Fisica 2: gli aspetti più propriamente fisici e fenomenologici sono trattati in quest'ultimo insegnamento.

Cinematica relativa: confronto fra trasformazioni di Galileo e trasformazioni di Lorentz; legge di composizione delle velocità per osservatori in moto relativo.
Struttura dello spazio-tempo di Minkowski; separazione spazio-temporale, coni luce, vettori di tipo spazio, tempo e luce, ordinamento temporale di due eventi, principio di causalità.
Parametrizzazioni delle linee di universo, relazione fra quadrivelocità e velocità osservata. 
Costruzione della lagrangiana relativistica per una particella non soggetta a interazioni: confronto fra le diverse formulazioni lagrangiane possibili; parametrizzazione con il tempo proprio e con il tempo relativo.
Lagrangiana per una particella relativistica in accoppiamento con il campo elettromagnetico; tensore elettromagnetico, quadripotenziale, invarianza di gauge; equazioni di Lagrange e moti relativi a un osservatore. Quadrimpulso.

Meccanica hamiltoniana:
Trasformazione di Legendre e deduzione delle equazioni di Hamilton dalle equazioni di Lagrange.
Parentesi di Poisson e loro proprietà; relazione fra simmetrie e costanti del moto per sistemi hamiltoniani.
Forma di Liouville, forma simplettica e campi hamiltoniani; commutatore di campi vettoriali hamiltoniani.
Trasformazioni canoniche e loro funzioni generatrici.
Variabili azione-angolo (esempio dell'oscillatore armonico e teoria generale). Sistemi completamente integrabili.
Forma di Poincaré-Cartan e deduzione variazionale delle equazioni di Hamilton.
Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo ed equazione di Hamilton-Jacobi.

Lagrangian Mechanics
Motion of a material point on a smooth surface (parameterization of the surface, metric on the surface, velocity, acceleration, Christoffel symbols, geodesic motions).
Configuration manifold for a system of material points subject to poisitional constraints, lagrangian coordinates and deduction of the Lagrange equations from F = ma.
Conservation of energy in autonomous Lagrangian systems; Noether's theorem.
Use of the first integrals for the qualitative study of the solutions of the Lagrange equations; Weierstrass equation: case of the central motions.
Stationary action principle and Euler-Lagrange equations.
Equilibrium and stability for Lagrangian systems: Lyapunov theorem and Lejeune-Dirichlet criterion.
Linearization around a stable equilibrium configuration: diagonalization and small oscillations.

Special relativity

NOTE: mathematical structures connected with the Lagrangian formulation of the relativistic particle dynamics will be introduced and discussed; the preliminary part on Lorentz transformations is included because students following a theoretical curriculum will not have previously attended the course "Fisica 2", but the physical and phenomenological aspects of the theory are discussed in the latter course.


Relative kinematics: Galileo and Lorentz transformations; speed composition law for observers in relative motion.
Minkowski space-time structure; space-time distance, light cones; spacelike, timelike and lightlike vectors; temporal arrangement of two events, causality principle.
Parameterizations of the world lines, relation between four-velocity and observed velocity.
Construction of the relativistic lagrangian for a free particle: comparison between the different possible Lagrangian formulations; parameterization with the proper time and relative time.
Lagrangian for a relativistic particle coupled with an electromagnetic field; electromagnetic tensor, quadripotential, gauge invariance; Lagrange equations and motions related to an observer. Four-momentum.

 

Hamiltonian Mechanics
Legendre transformation and derivation of Hamilton equation from the Lagrange equation of motion. Poisson brackets and their properties; relation between symmetries and constants of the motion for Hamiltonian systems.
Liouville one-form, symplectic form and Hamiltonian vectorfields; commutator of Hamiltonian vectorfields.
Canonical transformation and their generating functions
Action-angle variables (example of the harmonic oscillator and general theory). Completely integrable systems.
Poincaré-Cartan one-form and variational deduction of Hamilton equations.
Time dependent canonical transformations and Hamilton-Jacobi equation.

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Modalità di insegnamento

96 ore di lezioni frontali (suddivise paritariamente fra i due docenti) in cui si alternano momenti teorici e momenti di applicazioni ed esercizi.

Frontal lectures (96 hours, equally divided among the two teachers) alternating theory and applications.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova scritta consiste nella risoluzione di alcuni esercizi, in parte standard, in parte atti a valutare le capacità di problem solving acquisite. Il superamento della prova scritta è necessario per accedere alla prova orale. Le prove scritte superate sono valutate secondo la scala (A,B,C,D). Esempi di prove scritte degli anni precedenti (con soluzioni) sono disponibili su Moodle.

La prova orale valuta la comprensione e la capacità espositiva degli aspetti teorici, e consiste nella risposta a tre domande (una per ciascuna delle tre parti del programma) estratte a caso da un elenco reso disponibile agli studenti (su moodle) alla fine del corso. Per ogni domanda la commissione assegna una valutazione fino a un massimo di 10 punti. Al punteggio totale delle tre domande si somma un valore associato al risultato dello scritto (A=+2, B=+1, C=0, D=-1).

Sono inoltre previsti alcuni test a risposta multipla, proposti in diverse sessioni in aula informatizzata, per valutare il raggiungimento di un livello di base di conoscenze e di capacità di applicazione immediata dei diversi argomenti. Il superamento preliminare di questi test è richiesto per l'ammissione alla prova scritta.

The exam includes a written part (with some standard exercises and some non standard, in order to evaluate the problem solving abilities). This part, if passed, receive a score in the scale (A,B,C,D) and gives access to the oral part. Samples of problems given in the previous years (with solutions) are available on the Moodle platform.

The subsequent oral part is focused on the understanding and the ability of exposing the theoretical aspects. Three questions (one for each part of the program) are randomly extracted form a list which is made available to students on the Moodle platform immediately after the end of the lectures. The answer to each question is evaluated on a [0-10] scale. The final score is the sum of the scores of the three questions, plus a correction related to the result of the written examination (A=+2, B=+1, C=0, D=-1).

Some preliminary multiple-choice tests, given in different sessions (in computer room) and assessing the basic application skill level on the different topics, should be passed prior to taking the exam.

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Attività di supporto


Le video registrazioni delle lezioni di un precedente anno accademico sono disponibili su Moodle.
Le dispense del corso, testi e soluzioni di prove d'esame degli anni precedenti, ulteriore materiale didattico e il riassunto dei contenuti di ciascuna lezione del corso sono disponibili sulla pagina Moodle.

Durante le lezioni sono occasionalmente presentate simulazioni di sistemi meccanici effettuate con Maple; benché la capacità di costruire tali simulazioni non rientri fra gli obiettivi formativi, gli studenti avranno a disposizione (attraverso la piattaforma Moodle) i worksheet di tali simulazioni e potranno, se lo desiderano, cimentarsi autonomamente con esse.


Video recordings of all lectures (from the 2016/17 a.y.) are available to students through the Moodle platform. Official lecture notes, problems given in the written examinations of previous years (with solutions), other texts and links as well as a summary of the content of each lecture are available in the Moodle course.

Several simulations of mechanical (point particle) systems produced with Maple are presented during the lectures; although the ability to produce such simulations is not included in the course's objectives, the Maple worksheets of the simulations are available on the  Moodle platform to promote autonomous exploration by interested students.

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Testi consigliati e bibliografia

Libro di testo: dispense fornite dai docenti

Altri testi consigliati

  • S. Benenti, Modelli matematici della meccanica I e II, Edizioni Celid, Torino 1997
  • V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti 1979

Reference textbook: lecture notes provided by the teachers

Further useful references:

  • S. Benenti, Modelli matematici della meccanica I e II, Edizioni Celid, Torino 1997
  • V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer Verlag 1989
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    Ultimo aggiornamento: 27/06/2019 11:21

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