- Oggetto:
- Oggetto:
Introduzione al Pensiero Matematico (IPM)
- Oggetto:
Anno accademico 2007/2008
- Codice dell'attività didattica
- M8609
- Docenti
- Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso)
Prof. Ornella Robutti (Titolare del corso)
Prof. Francesca Ferrara (Esercitatore) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/04 - matematiche complementari
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Fornire agli studenti strumenti concettuali ed operativi che collegano il più possibile quanto svolto alle superiori con quanto si prevede di affrontare in forma più astratta nel Corso di Studi in Matematica, evitando così la famosa parentesi di cui parlava Felix Klein. Esso propone infatti un ambiente di esplorazione e di creazione di prototipi mentali per il discorso più astratto sviluppato in Geometria I e II e in Algebra I e II. Laspetto esplorativo, favorevole alla produzione/validazione di congetture e dimostrazioni, è stimolato e supportato anche mediante luso di software opportuni.
Offrire agli studenti un approccio al metodo ipotetico-deduttivo proprio della matematica in un contesto (geometria e numeri naturali) in cui la funzione degli assiomi, dei teoremi e delle dimostrazioni viene acquisita con il necessario rigore ma in forma non troppo astratta.
Favorire un amichevole collegamento tra le discipline geometriche ed algebriche così come sono insegnate allUniversità e come sono state apprese nella scuola pre-universitaria.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Gli studenti saranno in grado di:
1)Comprendere il significato logico-matematico dei sistemi ipotetico deduttivi.
2)Comprendere dimostrazioni di enunciati in cui sono usati sia argomenti diretti sia dimostrazioni per assurdo.
3)Comprendere dimostrazioni per induzione di semplici proprietà numeriche.
4)Comprendere definizioni per ricorsione di semplici proprietà numeriche e di funzioni numeriche.
5)Comprendere quali ipotesi sono necessarie e sufficienti per dimostrare un teorema.
6)Comprendere il significato dei rapporti tra i vari sistemi geometrici sia secondo unimpostazione assiomatica (coerenza e indipendenza di assiomi, estensioni di sistemi) sia secondo unimpostazione con le trasformazioni, nonché i legami concettuali tra le due.
7)Comunicare in forma orale e scritta i concetti della geometria e dellaritmetica e i loro metodi dimostrativi.
8)Produrre e comunicare dimostrazioni in situazioni problematiche chiuse (con tesi esplicita) di geometria elementare e di aritmetica.
9)Produrre e comunicare congetture e dimostrazioni in situazioni problematiche aperte (situazioni da esplorare in cui ipotesi e tesi sono prodotte dallallievo) di geometria e di aritmetica elementare.
10)Usare il metodo sintetico oppure le trasformazioni geometriche per risolvere problemi di geometria elementare nel piano e nello spazio.
11)Usare il metodo per induzione per dimostrare semplici proprietà numeriche.- Oggetto:
Programma
Dagli Elementi di Euclide alla Geometria di Hilbert.Il metodo assiomatico in Euclide e ai giorni nostri.Termini indefiniti e non: definizioni, assiomi, teoremi.I primi quattro postulati di Euclide.Il postulato delle parallele: tentativi di dimostrazione.Dimostrazioni dirette e per assurdo.La geometria di incidenza: modelli e isomorfismo tra modelli.Il rischio delle ‘proofs by picture’: esempi di non-dimostrazioni.‘Errori’ e ‘buchi’ in Euclide.La geometria elementare moderna: introduzione al sistema assiomatico di Hilbert.Assiomi di ordine, di congruenza, di continuità (varie forme più o meno forti), di parallelismo.Il programma di Euclide: congruenze senza distanze (la geometria sintetica).La geometria euclidea pianaTeoremi della geometria euclidea dimostrabili senza l’assioma delle parallele (I. 1-28; III, 1-19, 25, 28-30; IV, 4-9) o in cui l’assioma è necessario; in particolare enunciati e dimostrazioni di alcune proposizioni riguardanti:- la geometria del triangolo (anche alcuni teoremi che non sono negli Elementi: retta di Eulero; circonferenza di Feuerbach; problemi di Fagnano e di Fermat; teorema di Morley)- la geometria dei quadrilateri- il teorema di Talete- l’equiscomponibilità e l’area delle figure; teoremi di Pitagora e di Euclide- la geometria della circonferenza.Trasformazioni geometriche del piano euclideo.Isometrie dirette e inverse.Isometrie: loro composizione; invarianti; elementi uniti.Omotetie e similitudini: proprietà; invarianti; composizione.Affinità: proprietà; invarianti; composizione.Teorema delle tre riflessioni.Alcuni teoremi di geometria elementare piana visti (rivisti) con il metodo delle trasformazioni geometriche.Trasformazioni geometriche dello spazio euclideo.Isometrie dirette e inverse.Isometrie: loro composizione; invarianti; elementi uniti.Omotetie e similitudini: proprietà; invarianti; composizione.Teorema delle quattro riflessioni.Alcuni teoremi di stereometria visti con il metodo delle trasformazioni geometriche.Il teorema delle tre riflessioni sulla sfera.Poliedri regolari e semiregolari.Equivalenza ed equiscomponibilità di figure nel piano e nello spazio: somiglianze e differenze; teoria elementare dei volumi (facoltativo).Considerazioni critiche sui sistemi assiomatici delle Geometrie pianeSottosistemi della geometria euclidea:- Geometria ordinata (problema di Sylvester).- Geometria affine ed equiaffinità.- Geometria assoluta (teorema di Saccheri-Legendre; forme equivalenti dell’assioma delle parallele).Introduzione ai Numeri naturali.Dimostrazioni per induzione e definizioni per ricorsione, utilizzando esempi vari dell’aritmetica.Formulazioni equivalenti dell’induzione (ad es. il principio del minimo, l’impossibilità della discesa infinita).Assiomi per l’Aritmetica.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Materiale per lezioni e esercitazioni:
Dispense del docente
Le esercitazion sono svolte con uso di software di geometria dinamica (Cabri Géomètre IIplus, 3D) e di ambiente integrato CAS (TI-Nspire) in Aula Informatizzata.Bibliografia:
Bonola, R., 1975: La geometria non euclidea. Bologna:Zanichelli (I ediz. 1906).
Cederberg, J.N., 1989: A Course in Modern Geometries. New York: Springer-Verlag.
Childs, L. : ALGEBRA, unintroduzione concreta. Pisa: ETS Editrice;
Coxeter, H.S.M., 1969: Introduction to Geometry, second edition. New York: Wiley & Sons.
Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., 1967: Geometry revisited. London: Random House.
Di Sieno, S. & Levi, S., 2005: Aritmetica di base. Milano: McGraw-Hill.
Euclide, 1970: Gli Elementi (traduz. italiana a cura di A. Frajese e L. Maccioni). Torino: UTET.
Greenberg, M.J., 1974: Euclidean and Non-Euclidean Geometries, second edition. New York: Freeman & Company.
Kline, M., 1991: Storia del pensiero matematico (traduzione italiana con appendice a cura di A. Conte). Torino: Einaudi (edizione originale del 1972).
Millman, R.S. & Parker, G.D., 1991: Geometry. A metric approach with models, New York: Springer-Verlag.
Moise, E. E., 1963: Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Reading (MASS): Addison & Wesley. - Oggetto:
