- Oggetto:
- Oggetto:
Algebra 1 (DM 270) - a.a. 2009/10
- Oggetto:
Anno accademico 2009/2010
- Codice dell'attività didattica
- MFN0333
- Docenti
- Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso)
Prof. Paola Favro (Titolare del corso)
Prof. Marco Burzio (Tutor) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche e le loro proprietà, in particolare gli anelli commutativi, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in concreto su C , nell'anello degli interi, nell'anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Saper utilizzare in modo appropriato il linguaggio insiemistico. Saper lavorare con classi di equivalenza e insiemi quozienti. Conoscere le strutture algebriche studiate, in particolare Z e C. Eseguire calcoli in anelli di classi di resto, saper risolvere congruenze e sistemi di congruenze lineari. Conoscere e utilizzare i principali risultati relativi alla fattorizzazione di polinomi nei vari anelli di polinomi considerati.
- Oggetto:
Programma
Teoria degli insiemi: notazioni, operazioni tra insiemi e loro proprietà. Corrispondenze e funzioni tra insiemi. Composizione di funzioni e proprietà relative.
Relazioni in un insieme: relazioni di ordine e di equivalenza. Insieme quoziente. Costruzione di Z e di Q.
I numeri complessi: costruzione del campo dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso. Radici n-sime dell’unità e loro proprietà.
L’anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Teorema fondamentale dell’aritmetica. L’anello delle classi di resto modulo n. Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero.
L’anello dei polinomi: Costruzione e proprietà dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Irriducibilità di polinomi in C, R, Q, Zp.
I gruppi: definizioni, esempi e proprietà generali. Il gruppo simmetrico, i gruppi diedrali e proprietà.
Gli anelli e i campi: definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell’anello di polinomi su un campo. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Caratteristica di un campo
Set theory: notations, operations and properties. Mappings and functions: composition and properties.
Relations: equivalence relations. Order relations. Quotient. Construction of Z and Q.
The field of complex numbers. De Moivre’s formula. Complex roots of unity.
The Integers: properties. Division algorithm. G.C.D and Bezout’s identity. Prime numbers. Fundamental theorem of arithmetic. Integers modulo n with applications. Fermat’s and Euler’s theorems. Linear congruences. Chinese remainder Theorem.
Polynomials: definition and properties. The division algorithm. Factorization of polynomial.
Rings and fields: definitions, examples and properties. Integral domains. Subrings. Homomorphism of rings. Ideals. Quotient rings. Quotient of Z and of polinomials rings. Field of quotients. Characteristic.
Groups: definition, examples and properties. Permutation groups. Finite symmetry groups.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
A.Conte-L.Picco Botta-D.Romagnoli ALGEBRA Levrotto & Bella Torino
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Note
ALGEBRA 1, MFN0333 (DM270), 9 CFU: 6 CFU MAT/02, TAF A (Base), Ambito Formazione matematica di base 3 CFU MAT/02, TAF B (Caratterizzante), Ambito Formazione teorica Modalità di verifica/esame: L'esame consiste in una prova scritta articolata in due parti: la prima prevede lo svolgimento di esercizi e la seconda domande di tipo teorico. E' possibile sostenere più volte la prova scritta ma ogni scritto consegnato annulla lo scritto precedente . Al superamento della prova scritta può seguire una eventuale prova orale a richiesta dello studente oppure della commissione d'esame.
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