Corso di laurea in matematica

Geometria 1

Ci si attende che gli studenti sappiano applicare le nozioni di base apprese a rami più specialistici della matematica.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968)

Conoscenza e comprensione. Il corso introduce i concetti fondamentali di topologia e geometria proiettiva, che saranno poi utilizzati negli studi successivi. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alla topologia e alla geometria proiettiva (obiettivo 1), le curve algebriche e differenziali e le superfici parametrizzate.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. La struttura teorica del corso consiste di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante (obiettivo 1), di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia, geometria proiettiva, curve e superfici parametrizzate (obiettivo 2).

Autonomia di giudizio. Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo. Il confronto con i compagni di corso, nel lavoro a casa, favorisce lo sviluppo di capacità logiche per riuscire a chiarire ai compagni le proprie soluzioni (obiettivi 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni di altri permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative (obiettivo 2).

Abilità comunicative. Le discussioni sui diversi metodi per risolvere gli esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di comunicazione (obiettivo 1). In particolare lo studio della topologia e delle curve permettono di modellizzare semplici realtà fisiche allenando lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento. La rigorosa metodologia scientifica con cui gli argomenti vengono trattati permette agli studenti di proseguire gli studi, sia in Matematica sia in altre discipline, con un alto grado di autonomia (obiettivo 1). L’apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di modelli matematici sarà utile, anche a distanza di tempo, per la formalizzazione  matematica di realtà di svariata natura (obiettivo 4).

Conoscenze dei fondamenti della geometria differenziale delle curve, superfici, delle curve algebriche piane,  degli spazi proiettivi e delle iperquadriche. Conoscenze della topologia generale di base.

La prova scritta è costitutita da esercizi e domande di tipo teorico. La prova è valutata in 30simi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. Per la prova orale: La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci sono domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova orale ci sarà una discussione degli errori della prova scritta. Gli studenti dell'indirizzo teorico dovranno sostenere una prova orale supplementare sugli argomenti complementari trattati a lezione nell'ultima parte di corso

Curve nel piano e nello spazio; triedro di Frenet, curvatura, torsione. Superfici parametrizzate: prima e seconda forma fondamentale. Curvatura di Gauss e curvatura Media. Superfici di Rotazione. 

Spazi proiettivi. Iperquadriche, quadriche e loro classificazione.
Curve algebriche piane, studio dei punti multipli.
Nozione di spazio topologico: topologia indotta da una nota. Funzioni continue ed omeomorfismi.
Sottospazi. Topologia prodotto. Topologia quoziente. Assiomi di separazione. Spazi connessi. Spazi compatti.

Per gli studenti degli a.a. precedenti all'a.a. 2010/11 il  materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: il Centro Stampa di Palazzo Campana. Il materiale didattico relativo all'a.a. 2010/11 è disponibile sulla pagina di moodle.

I testi base consigliati per il corso sono:

C. Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli

Note a cura dei docenti (saranno su Moodle)

Sono anche consigliati:

E. Sernesi, GEOMETRIA 1 e 2 - Bollati Boringhieri (1984) e (1994), rispettivamente;

gli appunti delle lezioni del docente;

P.M. Gandini, S.Garbiero, Appunti di Geometria III, Quaderni del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino, n.30, disponibile on line all’indirizzo

http://www.dipmatematica.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/Allegati/quadernididattici/geometriaIII.pdf

Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse: http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/sez2/frame.htm

Vi sono ottime note, (Minitopologia ),  del corso svolto a Roma dal prof. Manetti.

Il corso di 96 ore, 12 crediti, prevede approfondimenti che riguardano l'esposizione di dimostrazioni complete, che nel corso di 9 crediti non verranno trattate. Ulteriormente si svilupperanno dei complementi, quali le primissime nozioni sul gruppo fondamentale.