- Oggetto:
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Algebra con Elementi di Logica (DM 270) - a.a. 2011/12
- Oggetto:
Anno accademico 2011/2012
- Codice dell'attività didattica
- MFN0334
- Docenti
- Prof. Yu Chen (Titolare del corso)
Prof. Domenico Zambella (Titolare del corso)
Dott. Alessandro Ardizzoni (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 - TAF B
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/01 - logica matematica
MAT/02 - algebra - Mutuato da
- SSD: 3 cfu MAT/01, 6 cfu MAT/02
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Per la parte di Algebra il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dello studio delle strutture algebriche astratte iniziato con il corso del primo anno generale con particolare attenzione ai fenomeni legati alla non-commutatività ed al concetto fondamentale di azione. Queste conoscenze sono basilari e propedeutiche a tutta la matematica moderna, sia teorica che applicata.
La parte di Logica dovrà familiarizzare lo studente con la nozione di teoria del prim'ordine e la relazione di equivalenza elementare tra strutture. Verranno anche introdotte nozioni basilarii di teoria degli insiem: ordinali e cardinali, assioma della scelta e lemma di Zorn.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà essere in grado di risolvere esercizi sulla teoria di base e padroneggiare gli esempi significativi che verranno illustrati nel corso. Lo studente saprà formalizzare nei linguaggi del prim'ordine prorietà espresse nel linguaggio naturale. Prerequisito è che lo studente abbia padronanza della propria lingua madre come strumento per esprimere concetti matematici.
- Oggetto:
Programma
(Algebra)
Estensioni algebriche e trascendenti. Il campo dei numeri algebrici. Cenni sulla trascendenza di e e di π e sull’impossibilità della quadratura del cerchio. Il teorema fondamentale dell’Algebra.
Il teorema di omomorfismo per gli anelli e sue applicazioni.
Domini euclidei, PID, UFD.
Esempi di anelli non commutativi (anello delle matrici, algebre di quaternioni)
Corpi e teorema di Wedderburn.
Gruppi ciclici e loro struttura.
Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi.
Struttura dei gruppi abeliani finiti.
Azione di un gruppo su un insieme. Stabilizzatori e orbite. Formula di Burnside.
Altri argomenti (tempo permettendo):
Semplicità del gruppo alterno su almeno 5 lettere.
Non invertibilità del Teorema di Lagrange. I p-gruppi. Teoremi di Cauchy e Sylow.
Lettere, alfabeti e parole. Gruppi liberi. Presentazione di un gruppo libero come generatori e relazioni.
(Logica)
Strutture e liguaggi del prim'ordine.
Termini, formule enunciuati e insiemi definibili.
Teorie ed equivalenza elementare.
Teorema di Löwenheim-Skolem allingiù.
Elementi di teoria degli insiemi.
Buoni ordinamenti, ordinali, cardinali.
Assioma della scelta, e lemma di Zorn.
(Algebra)
Algebraic and transcendental extensions. The field of algebraic numbers. An overview of the transendence of e and π and the impossibility of squaring the circle. The fundamental theorem of Algebra.
The homomorphism theorem for rings and applications.
Euclidean domains, PIDs, UFDs.
Examples of non-commutative rings (the ring of matrices, quaternion algebras).
Skew-fields and the theorem of Wedderburn.
Cyclic groups and their structure.
Laterals of a subgroup. Lagrange’s theorem. Group conjugation. Normal subgroups. Quotient group. Group homomorphisms.
Structure of finite abelian groups.
Group actions. Stabilizers and orbits. Burnside’s formula.
Other topics as time permits:
Simplicity of the alternating group on 5 letters at least.
Non-invertibility of the theorem of Lagrange. p-groups. The theorems of Cauchy and Sylow.
Letters, alphabets and words. Free groups. Presentation of a group as generators and relations.
(Logic)
First order languages and first-oder strucures.
Terms, formulas, sentences and definable sets.
Theories and elementarity.
Downard Löwenheim-Skolem theorem.
Introduction to set theory.
Well orderings, ordinals and cardinals.
Axiom of choice and Zorn's Lemma
Testi consigliati e bibliografia
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M. Artin, Algebra (Boringhieri) G. M. Piacentini-Cattaneo, Algebra, Decibel (Zanichelli) 1996
Per la parte di Logica verranno distribuite delle dispense.
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Note
ALGEBRA CON ELEMENTI DI LOGICA, MFN0334 (DM 270) , 9 CFU: 6 CFU, MAT/02, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica. 3 CFU, MAT/01, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.
Modalità di verifica/esame: L’esame consiste di una prova scritta in cui si richiede di risolvere alcuni problemi e di esporre brevemente qualche argomento del programma.
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