- Oggetto:
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Analisi Matematica 3 (DM 509) - a.a. 2009/10
- Oggetto:
Anno accademico 2009/2010
- Codice dell'attività didattica
- MFN0133
- Docenti
- Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 509
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso presenta alcuni elementi della teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e le nozioni di base sulle funzioni di una variabile complessa. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i teoremi fondamentali sulle soluzioni di un problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria e sulle funzioni analitiche. Inoltre, saprà studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un’equazione differenziale, calcolare integrali con il metodo dei residui, risolvere esercizi di applicazione della teoria ed interpretare criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
- Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale. - Saper calcolare un integrale con il metodo dei residui. - Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni in campo complesso, usando le serie di potenze.
- Oggetto:
Programma
(a) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.
- Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
- Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. Lemma di Gronwall.
- Dipendenza continua della soluzione dai dati. Equazione alle variazioni.
(b) Funzioni di una variabile complessa.
- Richiami sulle serie di potenze. Trascendenti elementari in campo complesso.
- Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni analitiche. Analiticità delle serie di potenze. Principio del prolungamento analitico. Zeri di funzioni analitiche. Funzioni meromorfe e loro poli.
- Indice di un cammino rispetto ad un punto. Teorema di Cauchy e formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Proprietà della media. Principio del massimo e teorema sull'applicazione aperta. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Metodo dei residui per il calcolo di integrali.
(a) Ordinary differential equations: qualitative theory.
- Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon
- Extension of solutions. Global existence. Gronwall lemma.
- Continuous dependence from data. Variation equation.
(b) Functions of a complex variable.
- Power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
- Cauchy-Riemann equations. Analytic functions. Analiticity of power series. Analytic prolongation principle. Zeros of analytic functions. Meromorphic functions and their poles.
- Index of a path w.r.t. a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Analiticity of holomorphic functions. Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Maximum principle and open mapping theorem. Laurent series Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.
Testi consigliati e bibliografia
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Cartan, Henri. Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables. Translated from the French. Reprint of the 1973 edition. Dover Publications, Inc., New York, 1995. Negro, Angelo. Teoria elementare delle funzioni olomorfe, parti 1 e 2. Dispense. http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/negro/index.htm Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore. Salsa-Squellati "Esercizi di Analisi Matematica 2 (Parte terza)" – Masson Editore. Spiegel. Teoria ed applicazioni delle variabili complesse, Collana Schaum, Etas Libri, Milano, 1975.
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Note
ANALISI MATEMATICA 3, MFN0133 (DM509), 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante), Ambito Formazione analitica
Il programma dettagliato e altre informazioni sono disponibili su http://www.dm.unito.it/personalpages/capietto/AnalisiTre.html
Modalità di verifica/esame: prova scritta seguita da una prova orale.
A partire dalla sessione d'esame di febbraio 2010 le date degli appelli sono pubblicate solo sulla pagina Campusnet del corso "Analisi Matematica 3 - AA 2010-2011".
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