- Oggetto:
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Equazioni Differenziali (DM 509) - a.a. 2009/10
- Oggetto:
Anno accademico 2009/2010
- Codice dell'attività didattica
- MFN1028
- Docenti
- Prof. Marino Badiale (Titolare del corso)
Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 509
- Crediti/Valenza
- 5
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso presenta alcuni elementi della teoria elementare delle equazioni differenziali, ordinarie e alle derivate parziali. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere il significato di un problema ai limiti, gli elementi di base della teoria dei sistemi di equazioni differenziali lineari, gli elementi di base del metodo di separazione delle variabili e alcuni risultati di base relativi all’equazione di Laplace e di Poisson. Inoltre, saprà analizzare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un sistema conservativo piano, con particolare riferimento allo studio della stabilità dei punti critici.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
- Saper risolvere un problema ai limiti associato ad un’equazioni differenziale lineare del secondo ordine. - Saper tracciare nel piano delle fasi le orbite di un sistema conservativo. - Saper applicare il metodo di linearizzazione per lo studio della stabilità di un punto di equilibrio di un sistema piano. - Saper risolvere alcune semplici equazioni di Laplace.
- Oggetto:
Programma
(a) Introduzione ai problemi ai limiti.
- Definizioni ed esempi.
- Autovalori e autofunzioni di un problema lineare.
- La funzione di Green.
(b) Preliminari sulle equazioni alle derivate parziali.
- Definizioni, esempi fondamentali, classificazioni.
- Problemi al contorno per le equazioni fondamentali alle derivate parziali risolubili elementarmente (metodo di separazione delle variabili).
(c) Problemi ellittici.
- Funzioni armoniche (proprietà della media, principio del massimo, regolarità).
- Soluzione fondamentale del laplaciano.
- Problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace e Poisson.
- Formule di rappresentazione integrale delle soluzioni.
- Metodo dell'energia, principio di Dirichlet.
(d) Sistemi di equazioni autonome.
- Integrali primi.
- Ritratti di fase.
- Classificazione dei punti critici per sistemi piani lineari.
- Sistemi nonlineari e stabilità: metodo di linearizzazione.
- Applicazioni: l'equazione del pendolo, il sistema preda-predatore, l'equazione di Van der Pool.
(a) Introduction to boundary value problems.
- Definitions and examples.
- Eigenvalues and eigenfunctions of a linear problem.
- The Green function.
(b) Basic PDE’s.
- Definitions and basic examples.
- The separation of variables
(c) Elliptic problems.
- Harmonic functions, fundamental solutions, Laplace and Poisson equations, Dirichlet principle
(d) Systems of autonomous equations.
- First integrals.
- Phase-portraits.
- Classification of critical points of linear planar systems.
- Nonlinear systems and stability: linearization.
- Applications: the pendulum equation, the prey-predator system and the Van der Pool equation.
Testi consigliati e bibliografia
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Boyce-Di Prima, Elementary differential equations, Wiley Editore Evans, Partial differential equations, AMS Hirsch-Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore
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Note
EQUAZIONI DIFFERENZIALI, MFN1028 (DM509), 5 CFU: 5 CFU, MAT/05, TAF G (CFU di sede), Ambito aggregato per crediti di sede Modalità di verifica/esame: esame orale.
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