Corso di laurea in matematica

Conoscenza delle principali strutture algebriche (gruppo, anello, campo, spazio vettoriale), delle loro proprietà di base e di alcuni esempi significativi per ciascuna di esse (gruppi di permutazioni, di classi di resto e di matrici; anelli di polinomi; quozienti di Z modulo un primo; spazi vettoriali di dimensione finita su R e su C).

Gli argomenti affrontati nell'insegnamento di Algebra DUE sono alla base dello studio dell'algebra, della geometria e delle loro applicazioni e forniscono il linguaggio e le proprietà basilari di tutta la matematica contemporanea. La teoria degli anelli, in particolare degli anelli di polinomi e degli anelli ottenuti a partire dall'anello dei numeri interi, è alla base della geometria algebrica e della teoria dei numeri, nonchè delle loro applicazioni, come la teoria dei codici e la crittografia. I concetti di gruppo e di azione di azione di gruppo sono trasversali a tutta la matematica, così come la teoria dei campi e delle equazioni algebriche.

L'algebra è una delle discipline fondamentali e indispensabili nella
matematica moderna. L'insegnamento di Algebra DUE si propone di approfondire lo studio dell'algebra, introdotto negli insegnamenti precedenti,  sviluppando le conoscenze delle strutture algebriche, dei loro isomorfismi, delle loro sottostrutture e dei loro quozienti. 

Particolare enfasi sarà data alla chiarezza dell'espressione formale, al rigore delle argomentazioni e alla precisione del linguaggio che sono competenze che caratterizzano la formazione di ogni matematico.

Lo studio dei teoremi e delle loro dimostrazioni permetterà di  apprendere metodologie dimostrative allo scopo di sviluppare  la capacità di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose necessarie per  risolvere problemi di moderata difficoltà che richiedano  l'elaborazione di  strategie risolutive non ripetitive.

Lo studente dovrà conoscere in modo abbastanza approfondito le principali strutture algebriche, dovrà conoscere le loro proprietà, e dovrà saper usare queste conoscenze per risolvere problemi anche di tipo teorico, formulare congetture ed elaborare semplici  dimostrazioni relative agli argomenti svolti.

Sarà  in grado di esprimere quanto studiato o elaborato autonomamente utilizzando un linguaggio rigoroso.  Sarà  in grado di  leggere e consultare  testi relativi agli argomenti svolti, anche in lingua inglese.

Teoria dei gruppi: richiami della teoria di base.  Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati. Teoremi di isomorfismo. Prodotto  semidiretto ed estensioni di gruppi. Azione di un gruppo su un insieme, stabilizzatori, orbite e sue applicazioni. Teoremi di Sylow e applicazioni.  Gruppi liberi. Presentazioni di un gruppo mediante generatori e relazioni. 

Teoria dei campi: estensioni di campi e loro morfismi. Grado di un'estensione e sua moltiplicatività. Elementi algebrici e loro polinomi minimi. Elementi e estensioni trascendenti. Il problema classico dei numeri costruibili con riga e compasso. Campi algebricamente chiusi (cenni al teorema fondamentale dell'algebra).  Campo di spezzamento di un polinomio e classificazione dei campi finiti.

L'insegnamento si articola in 48 ore di lezioni frontali, comprensive di teoria ed esercizi.

L'esame consiste in una prova scritta della durata di 2 ore e di un colloquio orale.

La prova scritta consiste nella risoluzione di problemi.
La prova orale dovrà svolgersi nello stesso appello della prova scritta.

 

Nell'a.a. 2022/23 l'insegnamento è offerto come attività formativa in taf D (a scelta libera dello studente); a partire dall'a.a. 2023/24 sarà offerto come attività formativa in taf B (caratterizzante- ambito formazione teorica).