Corso di laurea in matematica

1. Introduzione 

Operatori differenziali fondamentali: gradiente, divergenza, laplaciano. Introduzione e giustificazione dell’equazione di Poisson e di Laplace e dei relativi problemi di Dirichlet nell’ambito del problema generale dell’elettrostatica e di quello delle superfici minimali non parametriche. 

 

2. Funzioni armoniche 

Definizione ed esempi elementari. Funzioni armoniche in due variabili e funzioni olomorfe. Formule per il volume della palla n-dimensionale e per l’area della sua frontiera. Nozioni di media superficiale e media volumetrica. Caratterizzazione delle funzioni armoniche mediante la proprietà della media. Regolarità delle funzioni armoniche.Teorema di Liouville. Principio del massimo. 

 

3. Equazione di Poisson 

Soluzione fondamentale dell’operatore di Laplace. Identità di Stokes. Soluzione dell’equazione di Poisson su tutto lo spazio con dato regolare, a supporto compatto, espressa in forma integrale. Esistenza e unicità per un problema ai limiti per l’equazione di Poisson su tutto lo spazio in dimensione n≥3. 

 

4. Problemi al contorno per l’equazione di Poisson. Estensioni armoniche.

Unicità della soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson via principio del massimo. Riduzione al problema dell’estensione armonica. Estensioni armoniche sul disco bidimensionale (rappresentazione in serie di Fourier). Nozione di funzione di Green per l’operatore armonico su dominio limitato con condizione di Dirichlet al bordo. Rappresentazione integrale dell’estensione armonica. Calcolo della funzione di Green per la palla unitaria n-dimensionale. Estensioni armoniche sulla palla n-dimensionale (formula integrale di Poisson). Principio di Dirichlet. Il problema di Neumann per l’equazione di Laplace: unicità a meno di costanti additive, condizione necessaria per l’esistenza di soluzioni, formula di rappresentazione integrale per la soluzione, risoluzione dei problemi correttori nel caso del disco bidimensionale. 

 

5. Equazione del calore 

Costruzione dell’equazione del calore come modello descrittivo di un fenomeno diffusivo con flusso controgradiente. Soluzione fondamentale e sue proprietà. Problemadi Cauchy per l’equazione del calore omogenea su tutto lo spazio: esistenza di una soluzione espressa in forma integrale. Regolarità, limitatezza e decadimento della soluzione, conservazione della massa totale. Esempi: soluzione dell’equazione del calore 1-dimensionale con condizione iniziale di Heaviside e con condizione iniziale esponenziale. Principio del massimo per l’equazione del calore. Unicità della soluzione limitata per il problema di Cauchy su tutto lo spazio via principio del massimo. Esempio di non unicità di Tychonoff. Costruzione della soluzione del problema misto di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore 1-dimensionale con condizioni nulle agli estremi (metodo di separazione delle variabili). Unicità della soluzione del problema misto di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore su dominio limitato regolare via metodo dell’energia. Unicità retrograda della soluzione del problema per l’equazione del calore su dominio limitato con condizioni di Dirichlet al bordo via metodo dell’energia. 

 

6. Equazioni del primo ordine

Costruzione delle equazioni di trasporto come modelli descrittivi di fenomeni diffusivi con flusso lineare o non lineare. Formula della soluzione del problema di Cauchy per equazioni lineari. Equazioni quasilineari: caratterizzazione geometrica del grafico di una soluzione. Il grafico di una soluzione è unione di curve caratteristiche. Il metodo delle caratteristiche per la risoluzione di equazioni quasi-lineari del primo ordine. Teorema di esistenza locale. Significato del coefficiente a come velocità di propagazione nel caso di equazioni omogenee. Leggi di conservazionescalari unidimensionali. Esempio: equazione di Burgers. Rappresentazione implicita della soluzione (locale) del problema iniziale. Condizioni necessarie e/o sufficienti per l’esistenza della soluzione del problema di Cauchy. Definizione di tempo di shock.Soluzioni deboli. Una soluzione (forte) per il problema di Cauchy risolve l’identità integrale. Definizione di soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica laddove è C1. La condizione di Rankine-Hugoniot. Modello per il traffico automobilistico su un’arteria rettilinea. Analisi di due situazioni: coda che si allunga col passare del tempo (soluzione con onda di shock); “verde al semaforo”, costruzione dell’onda di rarefazione. 

 

7. Equazione delle onde 

Costruzione dell’equazione delle onde come modello per descrivere le piccole vibrazioni trasversali di una corda perfettamente flessibile. Condizioni iniziali e al contorno. Equazione monodimensionale. Il problema di Cauchy globale: la formula di d’Alambert. Commenti alla formula, domini di influenza e di dipendenza. Il problema di Cauchy-Dirichlet: soluzione con il metodo di separazione delle variabili. Costruzione della soluzione tramite la formula di d’Alambert. Legame tra i due metodi. Equazione delle onde in dimensione 3. Costruzione della soluzione con il metodo delle armoniche sferiche, equazione di Eulero-Poisson-Darboux e formula di Kirchhoff. Domini di dipendenza e di influenza. 

 

Teoremi con dimostrazione richiesta per l’esame 

 

Equazioni di Laplace e Poisson 

1. Deduzione dell’equazione delle superfici minimali 

2. Relazione tra funzioni armoniche in due variabili e funzioni olomorfe 

3. Formule del volume della palla n-dimensionale e dell’area della sua frontiera 

4. Proprietà delle funzioni definite come medie superficiale e volumetrica 

5. Caratterizzazione delle funzioni armoniche mediante la proprietà della media 

6. Principio del massimo 

7. Regolarità delle funzioni armoniche 

8. Teorema di Liouville 

9. Costruzione della soluzione fondamentale del laplaciano 

10. Identità di Stokes 

11. Soluzione dell’equazione di Poisson con dato C2 a supporto compatto 

12. Esistenza e unicità della soluzione del problema ai limiti su tutto Rn con n≥3 per l’equazione di Poisson 

13. Unicità della soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson 

14. Estensione armonica sul disco bidimensionale in forma di serie di Fourier 

15. Formula di rappresentazione integrale per la soluzione del problema dell’estensione armonica su un dominio che ammetta funzione di Green 

16. Risoluzione dei problemi correttori per il problema di Dirichlet sulla palla unitaria n-dimensionale 

17. Formula di Poisson per l’estensione armonica sulla palla unitaria n-dimensionale 

18. Principio di Dirichlet 

19. Unicità per il problema di Neumann 

20. Condizione necessaria sul dato al bordo per l’esistenza di soluzioni del problema di Neumann per l’equazione di Laplace 

21. Risoluzione dei problemi correttori per il problema di Neumann sul disco unitario bidimensionale 

 

Equazione del calore 

22. Costruzione della soluzione fondamentale

23. Comportamento della soluzione fondamentale dell’equazione del calore per t→0 

24. Soluzione del problema di Cauchy omogeneo su tutto lo spazio 

25. Calcolo della soluzione del problema di Cauchy omogeneo per alcuni dati iniziali particolari (Heaviside, esponenziale) 

26. Principio del massimo 

27. Unicità di soluzioni limitate per il problema di Cauchy omogeneo su tutto lo spazio 

28. Unicità della soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet su dominio limitato (metodo dell’energia) 

29. Unicità retrograda 

30. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet su un intervallo (rappresentazione in serie di Fourier) 

 

Equazioni del prim’ordine 

31. Formula risolutiva per il problema di Cauchy nel caso di equazioni lineari 

32. Caratterizzazione geometrica delle superfici caratteristiche 

33. Condizione necessaria sulle superfici caratteristiche (ogni superficie caratteristica è unione di curve caratteristiche) 

34. Teorema di esistenza locale della soluzione del problema di Cauchy nel caso di equazioni quasilineari 

35. Formula per la soluzione (in forma implicita) del problema di Cauchy per una legge di conservazione scalare 1-dimensionale. 

36. Condizione sufficiente per l’esistenza di una soluzione del problema di Cauchy. 

37. Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di una soluzione del problema di Cauchy. 

38. Identità integrale soddisfatta da una soluzione per il problema di Cauchy. 

39. Una soluzione debole è una soluzione classica laddove è C1. 

40. Due modelli per il traffico automobilistico su un’arteria rettilinea: onda di shock e costruzione dell’onda di rarefazione. 

 

Equazione delle onde 

41. La formula di d’Alambert. Commenti alla formula. 

42. Costruzione della soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet tramite la formula di d’Alambert e confronto con la soluzione che si trova con il metodo di separazione di variabili. 

43. Equazione delle onde in R^n, n >=2: costruzione della soluzione per l’equazione delle onde tridimensionale con il metodo delle armoniche sferiche: l'equazione di Eulero-Poisson-Darboux per la media sferica.

44. Risoluzione dell'equazione delle onde in R^3: formula di Kirchhoff. 

45. Risoluzione dell'equazione delle onde in R^2: formula di Poisson.