Corso di laurea in matematica

Pre-requisiti (in ingresso)

Insegnamenti fornitori

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Equazioni differenziali elementari

Analisi Matematica I

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Analisi Matematica  II

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili

Analisi Matematica III

Geometria analitica

Geometria I

Algebra lineare

Geometria II

Competenze minime (in uscita)

Insegnamenti fruitori

Il problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie

Corsi della LT e della LM di carattere analitico e fisico-matematico

Sistemi lineari e loro classificazione

Corsi della LT e della LM di carattere analitico e fisico-matematico

Problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine

Corsi della LT e della LM di carattere analitico e fisico-matematico

Argomento

Ore

Lezione

Ore

Esercitazione

Totale Ore di Carico Didattico

Presentazione del corso. Spazi metrici. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi.

1

1

Completezza di C(K). Teorema delle contrazioni. Il Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita' della soluzione. Approssimazioni successive.

2

2

Lemma di Gronwall. Dipendenza continua della soluzione del problema di Cauchy dai dati in ipotesi di Lipschitz.

2

2

Dipendenza derivabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati. Equazione alle variazioni. Esercizi.

1

1

2

Ulteriori teoremi di dipendenza continua. Esercizi.

1

1

2

Esistenza globale della soluzione del problema di Cauchy. Corollari ed esercizi.

1

1

2

Esercizi sul problema di Cauchy. Equazioni differenziali autonome: prime proprieta'.

1

1

Sistemi dinamici nel continuo. Esempi. Il sistema dinamico di Bebutov.

1

1

2

Orbite di un sistema dinamico. Ritratti di fase. Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine.

1

Esponenziale di una matrice. Definizione e prime proprieta’.

1

1

Calcolo dell’esponenziale di una matrice in forma canonica. Esempi ed esercizi.

1

1

2

Equivalenza lineare ed equivalenza topologica di sistemi lineari piani a coefficienti costanti. Enunciato dei teoremi di classificazione topologica.

2

2

Dimostrazione del teorema di equivalenza topologica di sistemi iperbolici.

1

1

Problemi ai limiti nonlineari

2

2

Introduzione ai sistemi discreti (mappe iterate): discretizzazione alla Eulero, mappa di Poincaré. Che domande ci poniamo in relazione a un sistema

dinamico: studio qualitativo come analisi delle proprietà dell'insieme delle soluzioni.

2

2

Inizio studio della mappa logistica. Definizione di punti fissi, stabilità, stabilità asintotica. Criterio di

stabilità per punti iperbolici di una mappa iterata in una dimensione reale.

2

2

Studio al computer del comportamento della mappa logistica per diversi valori del parametro.

Biforcazioni. Confronto con l'equazione logistica (continua) e le sue soluzioni. Enunciato del teorema di Sharkowski.

2

2

Studio della mappa logistica (con lambda > 4) con la dinamica simbolica. Definizione di sistema caotico.

2

2

Dinamica simbolica per la mappa logistica con lambda=4. Coniugazione topologica con ua mappa sul cerchio. Esempi di mappe iterate in R^2 (horseshoe map, caso invertibile di Bernoulli shift) e nel piano complesso (z -> z^2 + c, insieme di Julia e insieme di Mandelbrot).

2

2

I frattali. Costruzione, proprietà, dimensione.

2

2

Sistemi lineari continui nel piano. Generalità, importanza dei cambiamenti di coordinate, definizione di costanti del moto. Pendolo e oscillatore armonico.

2

2

Teorema del flow-box. Motivazioni per lo studio dei sistemi lineari. Studio dei sistemi lineari, caso diagonalizzabile sui reali.

2

2

Sistemi lineari nel piano: caso di autovalori complessi e caso non diagonalizzabile. Stabilità di un punto critico. Teorema di Liapunov.

2

2

Stabilità per sistemi nonlineari nel piano con il teorema di Liapunov. Punti a sella: varietà stabile e

instabile. Orbite omocline e eterocline.

2

2

Teorema di Poincaré-Bendixson. Cenni alla stabilità strutturale.

2

2

TOTALE

40

5

45