Corso di laurea in matematica

Matematiche Complementari (DM 270) - a.a. 2013/14

Complementary mathematics

Anno accademico 2013/2014

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Modalità di verifica dell'apprendimento
• Attività di supporto
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Altre informazioni
• Strumenti didattici

Obiettivi formativi

Il corso si propone di illustrare il percorso storico dalla geometria euclidea a quella iperbolica e di presentare i fondamentali teoremi di geometria iperbolica piana e di confrontarli con quelli dalla geometria euclidea.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

 Conoscenza e comprensione

Il corso consente di consolidare le conoscenze geometriche di base e di inquadrarle nella storia e nella cultura ( obiettivo 1) e di acquisirne di nuove. L’uso di libri e articoli specialistici e la lettura commentata dei testi classici hanno lo scopo di migliorare le capacità critiche dello studente (obiettivo 2). Gli esercizi, previsti dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi, a consolidare la padronanza dei concetti e dei metodi scientifici (obiettivo 4). I seminari individuali e di gruppo hanno lo scopo di abituare lo studente sia a una ricerca scientifica autonoma, sia all’uso delle conoscenze teoriche e storiche per elaborare esposizioni divulgative (obiettivi 8 e 9).

 Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Le lezioni, gli esercizi e i seminari all’interno del corso sviluppano nello studente:  padronanza dal punto di vista teorico degli argomenti  affrontati; capacità di risolvere problemi, stabilendo collegamenti fra vari settori della matematica (obiettivi 3, 6); capacità di utilizzare le competenze acquisite per approfondire in modo autonomo gli argomenti studiati e per inquadrare le conoscenze matematiche apprese nel contesto storico (obiettivi 4 e 13); capacità di orientarsi nella bibliografia e nella sitografia.

 Autonomia di giudizio (making judgements)

 La duplice natura del corso induce lo studente a migliorare le sue capacità di argomentazione e le sue capacità critiche e dimostrative, lo abitua a riconoscere punti deboli nelle dimostrazioni (obiettivi 1,2), a riflettere sul cambiamento delle metodologie e degli strumenti matematici nel corso della storia, a redigere esposizioni divulgative (obiettivo 4). I seminari, individuali o di gruppo, lo abituano a lavorare sia in modo autonomo, sia in collaborazione con altri (obiettivi 6, 7).

 Abilità comunicative

La presentazione dei seminari e il successivo dibattito abituano gli studenti a esporre la loro ricerca,  ad argomentare, a difendere il proprio punto di vista, utilizzando vari strumenti comunicativi (obiettivi 1 e 2). Inoltre poiché molti dei testi  e  degli articoli specialistici suggeriti per il corso sono in lingua inglese, lo studente si abitua a usare tale lingua per comunicazioni scientifiche (obiettivo 3).

 Capacità di apprendimento

Il lavoro richiesto per il corso contribuisce a creare negli studenti una mentalità flessibile utile per futuri studi specialistici, e una visione culturale della matematica. Acquisiscono infatti abilità nell’impostare rigorosamente e risolvere problemi teorici, nell’affrontare lo studio di un testo matematico classico, nella divulgazione della matematica. Possiedono gli strumenti per avviare una ricerca autonoma (obiettivi 1, 2).

Risultati dell'apprendimento attesi

Le lezioni, gli esercizi e i seminari all’interno del corso sviluppano nello studente:

 -   Conoscenza delle basi della geometria iperbolica

 -   Conoscenza dell’evoluzione storica dei principali concetti e metodi presentati

 -   Capacità di  usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi

 -   Capacità di orientarsi nella bibliografia primaria e secondaria sul tema

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esercizi, seminari, test a metà percorso

Attività di supporto

Lettura commentata di testi classici

Programma

ITALIANO

- La teoria delle parallele in Euclide e i commenti di Proclo

- Affermazioni equivalenti al V postulato

- Le critiche al V postulato da parte dei matematici islamici (al-Haytham, Al-Khayyam, Nasir-ad-Din)

- Il tentativo di dimostrazione del V postulato di John Wallis

- L’Euclides ab omni naevo vindicatus (1733) di Girolamo Saccheri

- Le ricerche sulla teoria delle parallele nella seconda metà del Settecento: i contributi di Johann H. Lambert e di Adrien M. Legendre

- La concezione dello spazio in Kant.

- I creatori delle geometrie non euclidee e i loro principali risultati: Carl F. Gauss (corrispondenza), Nikolai Lobacevskij (Nuovi principi della geometria), Janos Bolyai (Appendix)

- Dalle Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) di Gauss al Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868) di Eugenio Beltrami.

- Il modello “materiale” di superficie pseudosferica di Beltrami.

- Il modello di Klein; la geometria iperbolica nel modello di Klein.

- Il modello di Poincarè.

- I principi fondamentali della statica e il postulato di Euclide (Angelo Genocchi).

-  L’assiomatica di David Hilbert (I Grundlagen der Geometrie, 1899). 

- L’influenza delle geometrie non euclidee su letteratura, filosofia, arte (Carroll, Abbott, Dostoevskji, Poincaré, Gleizes, Metzinger, Escher, ecc). 

INGLESE

- Euclid’s theory of parallels and the commentary by Proclus

- Equivalent statements of the fifth postulate

- Criticisms of the fifth postulate by Islamic mathematicians (al-Haytham, Al-Khayyam, Nasir-ad-Din)

- John Wallis’s attempt to prove the fifth postulate

- The Euclides ab omni naevo vindicatus (1733) by Girolamo Saccheri

- Research on the theory of parallels during the second half of the 1700s: the contributions of Johann H. Lambert and Adrien M. Legendre

- Kant’s conception of space

- The creators of non-Euclidean geometry and their principal results: Carl F. Gauss (correspondence), Nikolai Lobachevsky (New Foundations of Geometry), Janos Bolyai (Appendix)

- From Gauss’s Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) to Eugenio Beltrami’s Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868)

- Beltrami’s ‘material’ model of the pseudospherical surface

- Klein’s model; hyperbolic geometry in Klein’s model

- Poincaré’s model

- The fundamental principles of statics and Euclid’s postulate (Angelo Genocchi)

- David Hilbert’s axiomatization of geometry (Grundlagen der Geometrie, 1899)

- The influence of non-Euclidean geometries on literature, philosophy and art (Carroll, Abbott, Dostoevsky, Poincaré, Gleizes, Metzinger, Escher, etc.)

Testi originali e articoli saranno forniti dal docente.

BONOLA R., La geometria non-euclidea, Bologna Zanichelli, 1906

GREENBERG, M. J., Euclidean and Non-Euclidean Geometries. Development and History, New York, 2001

MAGNANI L. Le geometrie non euclidee, Bologna Zanichelli, 1978 (antologia di testi)

B.A. ROSENFELD, A history of Non-Euclidean Geometry. Evolution of the concept of a geometric space, Springer-Verlag, New York, 1998

Note

MATEMATICHE COMPLEMENTARI, MFN1420 (DM270), 6 CFU MAT/04, TAF D Libero, Ambito a scelta dello studente.

Modalità di verifica/esame:

Seminario tenuto dallo studente su temi complementari alle lezioni scelti in accordo col docente

Prova orale che mira a valutare  le competenze storiche e teoriche sulla materia del corso e la capacità di applicarle per risolvere esercizi.

Altre informazioni

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