Algebra Computazionale

Oggetto:

Algebra Computazionale

Oggetto:

Anno accademico 2006/2007

Codice dell'attività didattica

S8494

Docenti

Prof. Umberto Cerruti
Prof. -- --

Corso di studi

Laurea Magistrale in Matematica

Anno

4° anno5° anno

Periodo didattico

Secondo semestre

Tipologia

A scelta dello studente

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/02 - algebra

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso di Algebra Computazionale ha quattro obiettivi principali:

1) Porre le basi per la comprensione delle tecniche attualmente utilizzate nei test di primalità, nella fattorizzazione degli interi e nello studio delle successioni di numeri interi.

2) Evidenziare l'importanza degli aspetti computazionali della Matematica, cioè dei tentativi di rispondere a domande del tipo: "come si fa a ... "

3) Mostrare l'unità della Matematica, attraverso lo studio di problematiche, come il "riconoscimento dei numeri primi", che provengono dall'antichità e che hanno coinvolto molti settori di ricerca: Teoria dei Numeri, Algebra, Analisi, Combinatoria, Geometria ...

4) Dare il giusto rilievo al lato estetico della Matematica, alla sorpresa e alla meraviglia che derivano dai teoremi. E' proprio lo stupore che ha spinto molti grandi matematici, come Eulero e Gauss, a dare diverse dimostrazioni di un medesimo risultato. Ciò che conta non è solo il luogo dove si giunge, ma anche la strada che si fa per arrivarci.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Gli studenti apprendono alcune tecniche matematiche utili e significative che riguardano, tra l'altro, i numeri primi, la fattorizzazione, le successioni ricorrenti, le curve ellittiche, le frazioni continue e le loro applicazioni informatiche.

Oggetto:

Programma

Il corso tratta di argomenti di teoria dei numeri, con particolare attenzione agli aspetti computazionali. Il programma può variare di anno in anno. Quello che segue è relativo all'a.a. 2006-07.
Complessità computazionale, problemi P, NP, NP-completi. Crittografia a chiave pubblica, Knapsack e RSA. Successioni ricorrenti del secondo ordine. Criteri di Lucas, Pepin, Pocklington, Morrison. Numeri primi di Mersenne e di Fermat. Caratteri dei gruppi abeliani finiti. Trasformata discreta di Fourier. Caratteri modulari e funzioni L di Dirichlet. La distribuzione dei primi. Teoremi di Chebyshev, di Bertrand etc. La congettura di Riemann e la congettura di Riemann estesa. Loro conseguenze. Il Teorema di Agrawal, Kayal e Saxena (AKS). Il gruppo delle curve ellittiche. Strutture deboli. Metodi ECM e ECPP. Frazioni continue e loro applicazioni. L'equazione di Pell. Cenni su irrazionalità e trascendenza.

Descrizione