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Algebra 1 - (COGNOMI A-K)

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Algebra 1

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Anno accademico 2021/2022

Codice dell'attività didattica
MAT0275
Docenti
Prof. Alessandro Ardizzoni (Titolare del corso)
Alan Cigoli (Titolare del corso)
Gianluca Paolini (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
1° anno
Periodo didattico
Annualità
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Programma di matematica delle scuole superiori.
Propedeutico a
Tutti i corsi di Matematica.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi


Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire conoscenze e metodi fondamentali della Matematica, con particolare riferimento ai principali sistemi di numeri (naturali, interi, razionali, reali, complessi), alle strutture algebriche classiche (gruppi, anelli, campi), alle fondamentali nozioni aritmetiche (divisibilità, classi di resto, congruenze) e all'algebra polinomiale.


Consistently with the training objectives of the Study Course provided by the SUA-CdS plan, the aim of the course is to provide basic knowledge and methods  in Mathematics, with a particular reference to the main number systems (natural, integer, rational, real and complex numbers), classical algebraic structures (groups, rings and fields), to the basic arithmetic notions (divisibility, residue classes, congruences)  and the polynomial algebra.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Gli studenti dovranno essere in grado di

  • utilizzare in modo appropriato il linguaggio insiemistico;
  • conoscere e utilizzare relazioni, classi di equivalenza e insiemi quozienti;
  • lavorare in concreto su specifici sistemi di numeri: naturali, interi, razionali, reali, complessi, sugli anelli  delle classi di resto, dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo;
  • conoscere le principali strutture algebriche  e le loro proprietà, in particolare i gruppi, gli anelli, i domini di integrità e i campi;
  • acquistare padronanza con i concetti di morfismo, nucleo, immagine, struttura quoziente;
  • eseguire calcoli in anelli di classi di resto, risolvere congruenze e sistemi di congruenze lineari;
  • conoscere e utilizzare i principali risultati relativi alla divisibilità e alla fattorizzazione di polinomi a coefficienti in un campo;
  • conoscere e utilizzare le principali proprietà degli domini euclidei, dei domini ad ideali principali e dei domini a fattorizzazione unica
  • saper costruire piccole dimostrazioni, con rigore di argomentazione e precisione di linguaggio.

 

Students should be able to:

  • appropriately use the language of set thory;
  • know and apply the notions of relation, equivalence class and quotient sets;
  • concretely deal with specific number systems: natural, integer, rational, real, complex numbers, and with residue class rings and rings of univariate polynomial with coefficients in a field;
  • know the main algebraic structures and their properties, in particular groups, rings, integral domains and fields;
  • master the concepts of morphism, kernel, image, quotient structure;
  • do calculations  in residue classes ring, solve congruences and linear congruence systems; 
  • know and apply the main results concerning divisibility and factorization of polynomials with coefficients in a field;
  • know and apply the main properties of the Euclidean domains, of principal ideal domains and of unique factorization domains;
  • build up simple proofs, with rigour of argumentation and precision of language.

 

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento si articola in lezioni frontali, comprensive di teoria ed esercizi.

Per l'a.a. corrente le lezioni saranno anche trasmesse in streaming tramite le pagine WebEx personali dei docenti, esclusivamente per studenti seriamente impossibilitati a partecipare alle lezioni in presenza.

La prima lezione sarà il 21 settembre 2021 alle 16:30. Per la prima settimana, a meno di ulteriori indicazioni, il docente farà lezione da casa. La lezione potrà essere seguita in Aula A (Palazzo Campana) e al seguente link:

https://unito.webex.com/meet/alessandro.ardizzoni

Se l’emergenza sanitaria dovesse persistere le lezioni potranno essere svolte a distanza tramite piattaforma WebEx. In tal caso le relative registrazioni verranno caricate online sulla pagina Moodle dell’insegnamento. Anche il ricevimento studenti avrà luogo tramite WebEx.

The teaching consists in lessons that will take place in the classroom, including theory and exercises.

For the current academic year the lessons will also be streamed via the teachers' personal WebEx pages, exclusively for students who are seriously unable to attend face-to-face lectures. The first lesson will be on 21 September 2021 at 16:30 in Aula A (Palazzo Campana) and at the following link:

https://unito.webex.com/meet/alessandro.ardizzoni

In case of health emergency, the lessons could be held online via the WebEx platform. Video-lessons will be available through the Moodle page of the teaching. The student reception will also take place via WebEx.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie e svolte in presenza (a meno di emergenza sanitaria, vedere sotto) alla fine del periodo di insegnamento.

PROVA SCRITTA. La prova scritta, della durata di 2 ore e mezza, è costituita da esercizi; in questa prova è ammesso consultare libri e appunti in formato cartaceo, e usare la calcolatrice.

PROVA ORALE. Sono ammessi all’orale solo i candidati che abbiano ottenuto nello scritto un punteggio totale almeno pari a 17,5 punti. La prova orale consiste in un colloquio, a partire dal contenuto della prova scritta, volto a verificare che gli studenti abbiano svolto il compito in autonomia e all’accertamento delle competenze acquisite. In questa parte dell'esame non è ammesso consultare libri o appunti.

Il voto finale dell’esame, espresso in trentesimi, verrà comunicato al candidato alla fine dell’orale e verrà successivamente pubblicato sulla bacheca esami.

La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

Agli studenti stranieri è garantita la possibilità (su richiesta anticipata) di svolgere l'esame in inglese.

ESONERI: Nelle sessioni invernale ed estiva sono previste anche due prove scritte parziali (esoneri):

  • Esonero 1. Il primo esonero riguarda gli argomenti del primo semestre e può essere sostenuto in ciascuno dei due appelli della sessione invernale (gennaio-febbraio),
  • Esonero 2. Il secondo esonero riguarda gli argomenti del secondo semestre e può essere sostenuto in ciascuno dei due appelli della sessione estiva (giugno-luglio).

Il superamento di entrambi gli esoneri equivale al superamento della prova scritta completa. Per essere ammessi all'orale entrambi gli esoneri devono risultare sufficienti; il voto finale dei due esoneri, con cui si viene ammessi alla prova orale, è la media dei voti dei due esoneri. La validità degli esoneri è limitata alla sessione estiva.

PROVE IN ITINERE. Durante ciascuno semestri di insegnamento avranno luogo, in modalità telematica, delle prove in itinere facoltative. Il loro superamento comporterà un alleggerimento del successivo esonero e concorrerà proporzionalmente al suo punteggio.

ESAME 9 CFU [ante A.A. 2020-21]. Per chi deve sostenere l'esame da 9 CFU (studenti degli anni precedenti) l'esame consisterà nello svolgimento di un quiz seguito da una prova orale. Verranno messi a disposizione complessivamente 5 appelli nelle sessioni invernale (gennaio-febbraio), estiva (giugno-luglio) e autunnale (settembre).

Per maggiori dettagli si rimanda alla pagina Moodle dell’insegnamento.

Regole d'esame in emergenza sanitaria. In caso l’emergenza sanitaria non ne permettesse lo svolgimento in presenza, l'esame si svolgerà tramite collegamento telematico Webex con l'ausilio di Moodle. Le prove scritte verranno sostituite da quiz. I dettagli tecnici verranno forniti nella pagina Moodle, nella sezione modalità di esame, e divulgate prontamente. Anche in questo caso le prove in itinere concorreranno alla valutazione finale.

The exam consists of a written test and an oral test, both carried out in the presence (unless in case of health emergency, see below) at the end of the teaching period.

WRITTEN TEST. The written test, lasting 2 hours and half, consists of exercises; in this test it is possible to consult books and notes in paper format, and to use the calculator.

ORAL EXAM. Only candidates who have obtained a total score of at least 17.5 points in the written exam are admitted to the oral exam. The oral test consists of an interview, starting from the written test, aimed at verifying that the students have carried out the task independently and at ascertaining the skills acquired. No books or notes are allowed in this part of the exam.

The final score of the exam, expressed out of thirty, will be communicated to the candidate at the end of the oral exam and will be subsequently published online.

The oral exam must be taken in the same exam session in which the written exam is passed. If the oral exam is not passed, the written exam must also be repeated.

Foreign students are guaranteed the possibility (upon request) to take the exam in English.

PARTIAL WRITTEN TEST: In the winter and summer sessions there are also two partial written tests:

- Partial test 1. The first partial test concerns the topics of the first semester and can be taken in each of the two rounds of the winter session (January-February),

- Partial test 2. The second partial test concerns the topics of the second semester and can be taken in each of the two rounds of the summer session (June-July).

Passing both partial written test is equivalent to passing the complete written test. To be admitted to the oral exam, both partial tests must be sufficient; the final mark of the two partial tests, with which one is admitted to the oral test, is the average of the marks of the two partial tests. The validity of the partial tests is limited to the summer session.

ONGOING TEST. During each semesters of teaching, optional ongoing tests take place online. Passing them will result in a lightening of the subsequent partial test and will contribute proportionally to the corresponding score.

9 CFU EXAM [before A.Y. 2020-21]. For those who have to take the 9 CFU exam (students from previous years), the exam will consist of a quiz followed by an oral test. A total of 5 exam rounds will be made available in the winter (January-February), summer (June-July) and autumn (September) sessions.

For more details, see the Moodle page of the teaching.

Exam rules in health emergency. In case the health emergency does not allow it to be carried out in person, the exam will take place online via Webex through Moodle. The written tests will be replaced by quizzes. Technical details will be provided on the Moodle page, in the exam section, and disclosed promptly. Also in this case, the ongoing tests will contribute to the final evaluation.

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Attività di supporto


Periodicamente verranno assegnati quiz e/o esercizi da svolgere a casa di cui verranno fornite le soluzioni attraverso il tutorato. Ulteriori esercizi verranno assegnati allo scopo di sviluppare la capacità di risolvere problemi di cui non è nota la soluzione e favorire il lavoro di squadra.


Quizzes and/or exercises will be periodically assigned for which solutions will be provided through tutoring. Further exercises will be assigned in order to develop the ability to solve problems of which the solution is not known and to favour teamwork. 

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Programma

  • Teoria degli insiemi.
  • Funzioni, operazioni, relazioni.
  • I numeri complessi.
  • L’anello Z dei numeri interi.
  • Congruenze.
  • Gruppi.
  • Anelli.
  • Campi.
  • Anelli di polinomi e loro quozienti.
  • Domini euclidei, PID, UFD

  • Set theory.
  • Functions, operations, relations.
  • The field of complex numbers.
  • The Integers.
  • Congruences.
  • Groups.
  • Rings.
  • Fields.
  • Polynomial rings and their quotients.
  • Euclidean domains, PID, UFD

Testi consigliati e bibliografia

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Note


Il ricevimento studenti (per consulenze e richieste di chiarimento su specifici argomenti dell’insegnamento) si svolgerà previo appuntamento con il docente tramite e-mail.

Non essendo prevedibile l’evoluzione dell'emergenza sanitaria, ulteriori indicazioni potranno essere fornite in prossimità dell’inizio delle lezioni.


The student reception (for advice and requests for clarification on specific teaching topics) will take place upon appointment requested to the teacher by e-mail.

As the evolution of the health emergency is not foreseeable, further information may be provided near the start of the lessons.

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Ultimo aggiornamento: 21/03/2022 12:11