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Oggetto:
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Algebra DUE (DM 270) - a.a. 2014/15

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Algebra DUE

Oggetto:

Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN1617
Docenti
Prof. Yu Chen (Titolare del corso)
Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto
Prerequisiti

Corso di Algebra 1; corso di geometria 1
Algebra 1 and Geometry 1.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L’Algebra e’ una delle discipline fondamentali e indispensabili nella
matematica moderna. Il corso si propone di introdurre lo studente all’
algebra moderna tramite gli studi delle strutture algebriche fondamentali.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di
Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",
http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?
ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968)
Conoscenza e comprensione. Il corso introduce i concetti fondamentali di
algbra che saranno poi utilizzati negli studi successivi(obiettivo 1), le
strutture dei campi, le struttre dei gruppi e le strutture degli anelli.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. La struttura teorica
del corso consiste di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo
studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente
dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da
loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante (obiettivo 1), di
risolvere problemi di moderata difficoltà (obiettivo 2).
Autonomia di giudizio. Per ogni argomento trattato nel corso vengono
proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o
in gruppo. Il confronto con i compagni di corso, nel lavoro a casa,
favorisce lo sviluppo di capacità logiche per riuscire a chiarire ai
compagni le proprie soluzioni (obiettivi 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti
possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni
di altri permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in
dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative
(obiettivo 2).
Abilità comunicative. Le discussioni sui diversi metodi per risolvere gli
esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di comunicazione
(obiettivo 1). In particolare lo studio delle strutture algebriche
fondamentali allena lo studente a rivolgersi a un pubblico non
matematico (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento. La rigorosa metodologia scientifica con cui gli
argomenti vengono trattati permette agli studenti di proseguire gli studi,
sia in Matematica sia in altre discipline, con un alto grado di autonomia
(obiettivo 1). L’apprendimento del metodo scientifico alla base della
formulazione di modelli matematici sarà utile, anche a distanza di tempo,
per la formalizzazione matematica di realtà di svariata natura (obiettivo
4).

Algebra is one of the essential fundamental discipline in modern
mathematics. This course aims to introduce the students into the basic
modern algebraic structures such as the groups, rings and fields.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenze e competenze di base di metodi algebrici.

Understanding and capable of using basic mothods of algebra.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame di Algebra DUE consiste in una prova scritta, contenente esercizi sugli argomenti svolti a lezione e/o domande sulla parte teorica svolta nel corso. Tale prova scritta ha la durata di 2 ore e mezza. Alla correzione della prova può seguire un colloquio orale a richiesta del docente o dello studente, per una ulteriore valutazione del risultato conseguito.

Writing and oral examinations. The examination for the course of Algebra 2 consists of a written exam which includes the exercises concerning the arguments from the lectures and/or the questions concerning the theories developed during the course. The duration of this written exam is scheduled for two and half hours. 

An oral exam may take place after the valuation of the written test, at the request of the lecturer(s) or the students.

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Programma

 

Estensioni algebriche e trascendenti. Il campo dei numeri algebrici. Cenni sulla trascendenza di e e di π e sull’impossibilità della quadratura del cerchio. Il teorema fondamentale dell’Algebra.

Il teorema di omomorfismo per gli anelli e sue applicazioni.

Domini euclidei, PID, UFD.

Esempi di anelli non commutativi (anello delle matrici, algebre di quaternioni)

Corpi e teorema di Wedderburn.

Gruppi ciclici e loro struttura.

Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi.

Struttura dei gruppi abeliani finiti.

Azione di un gruppo su un insieme. Stabilizzatori e orbite. Formula di Burnside.

 

Altri argomenti (tempo permettendo):

Semplicità del gruppo alterno su almeno 5 lettere.

Non invertibilità del Teorema di Lagrange. I p-gruppi. Teoremi di Cauchy e Sylow.

Lettere, alfabeti e parole. Gruppi liberi. Presentazione di un gruppo libero come generatori e relazioni.

 

 

Algebraic and transcendental extensions. The field of algebraic numbers. An overview of the transendence of e and π and the impossibility of squaring the circle. The fundamental theorem of Algebra.

The homomorphism theorem for rings and applications.

Euclidean domains, PIDs, UFDs.

Examples of non-commutative rings (the ring of matrices, quaternion algebras).

Skew-fields and the theorem of Wedderburn.

Cyclic groups and their structure.

Laterals of a subgroup. Lagrange’s theorem. Group conjugation. Normal subgroups. Quotient group. Group homomorphisms.

Structure of finite abelian groups.

Group actions. Stabilizers and orbits. Burnside’s formula.

 

Other topics as time permits:

Simplicity of the alternating group on 5 letters at least.

Non-invertibility of the theorem of Lagrange. p-groups. The theorems of Cauchy and Sylow.

Letters, alphabets and words. Free groups. Presentation of a group as generators and relations.

 

 

1. teoria dei gruppi: gruppi di permutazioni, gruppi diedrali, gruppi
abeliani finiti, proprietà fondamentali degli omomorfismi di gruppi, azioni
di un gruppo su un insieme, teoremi di Sylow;
2. teoria degli anelli: anelli di polinomi, ideali, anelli principali, dominio di
integrità, domini Euclidei, domini a fattorizzazione unica;
3. teoria dei campi: Estensioni di campi, campo di spezzamento di un
polinomio, campi finiti, il teorema di Wedderburn sui corpi finiti,
estensioni separabili e inseparabili, estensioni normali.


Properties of the permutation groups and of the dihedral groups,
classification of finite abelian groups, fundamental properties of the
homomorphisms of groups, the actions of a group on a set, the theorems
of Sylow, properties of the polynomial rings, the principal rings and the
factorial rings, integral domains and Euclidian domains, the extensions of
a field, the splitting field of a polynomial, the properties of a finite field,
the Wedderburn theorem on finite skew fields, separable and inseparable
extensions, the normal extensions.

 

Testi consigliati e bibliografia

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I testi consigliati per il corso sono:
1. Piacentini Cattaneo, Algebra, Decibel e Zanichelli;
2. M.A.Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-verlag;
2. Serge Long, Undergraduate Algebra, Springer-verlag.

1. Piacentini Cattaneo, Algebra, Decibel e Zanichelli;
2. M.A.Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-verlag;
2. Serge Long, Undergraduate Algebra, Springer-verlag.





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Orario lezioni

GiorniOreAula
Lezioni: dal 02/03/2015 al 05/06/2015

Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html

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Note

ALGEBRA DUE, MFN1617 (DM 270) , 9 CFU:  MAT/02, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

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Ultimo aggiornamento: 19/09/2016 10:10

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