- Oggetto:
- Oggetto:
Geometria UNO (DM 270) - a.a. 2014/15
- Oggetto:
Geometry UNO
- Oggetto:
Anno accademico 2014/2015
- Codice dell'attività didattica
- MFN1626
- Docenti
- Prof. Cinzia Casagrande (Titolare del corso)
Prof. Andrea Mori (Esercitatore)
Prof. Cristiana Bertolin (Esercitatore)
Prof. Federica Galluzzi (Esercitatore)
Prof. Margherita Roggero (Esercitatore) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF A - Base
- Crediti/Valenza
- 12
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
- Il corso non ha prerequisiti, salvo le nozioni di base di matematica dalla scuola superiore.
- Propedeutico a
- L'algebra lineare e' utilizzata in quasi tutti i corsi successivi del Corso di Laurea.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi di algebra lineare e geometria analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi ed alla comprensione di teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese ad altre discipline scientifiche.
The course aims to give to the student some basic notions of linear algebra and analytic geometry, and to furnish skills for solving exercises and understanding more advances theories. An additional aim is to prepare the student to apply what he/she has learnt to other scientific disciplines.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà acquisire le principali nozioni teoriche e la capacità di svolgere esercizi su spazi vettoriali, applicazioni lineari, forme bilineari, forme quadratiche, coniche, geometria analitica nel piano e nello spazio.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni ed esercitazioni. Il corso prevede anche un'attivita' di tutorato e un corso di recupero al secondo semestre. Per maggiori dettagli vedere la pagina web del corso su moodle: http://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=439
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. Per maggiori dettagli vedere la pagina web del corso su moodle: http://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=439
Written and oral exam.
- Oggetto:
Programma
Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: traccia, rango e operazioni con le matrici. Determinanti e regola di Laplace. Teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.
Calcolo vettoriale nello spazio: operazioni tra vettori, basi ortonormali; prodotti scalare, vettoriale e misto di vettori.
Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi; formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare; basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali Euclidei ed Hermitiani: prodotti scalari, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Ortogonalità, basi ortonormali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, complemento ortogonale. Matrici associate a prodotti scalari.
Applicazioni lineari e matrici associate. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di spazi vettoriali. Teorema di nullita' piu' rango.
Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; matrici simili; polinomio caratteristico. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e conseguenze.
Endomorfismi autoaggiunti e teorema spettrale per le matrici simmetriche reali. Cenni sul caso complesso.
Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione lineare trasposta. Forme bilineari simmetriche: matrici associate, forme quadratiche. Matrici congruenti; diagonalizzazione di una forma quadratica. Forme quadratiche reali: segnatura e teorema di Sylvester.
Geometria analitica nel piano e nello spazio: coordinate cartesiane, rette, piani, sfere, circonferenze. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche: forma canonica e riduzione a forma canonica. Cenni sulle quadriche.
Linear systems: solutions with the Gauss reduction method. Matrices: trace, rank and operations with matrices. Determinants and Laplace’s rule. Theorems of Rouchè-Capelli and Cramer.
Vector calculus in space: operations with vectors, othonormal basis. Scalar product, vector product and mixed product of vectors.
Vector spaces over a field K: definition, linear subspaces. Sum and intersection of linear subspaces, Grassmann formula. Direct sum of subspaces. Generators, linear dependence and independence, basis and dimensions of vector spaces.
Euclidean and Hermitian vector spaces: inner products, Cauchy-Schwartz inequality. Orthogonality, orthonormal basis, Gram-Schmidt orthogonalisation process, orthogonal complement. Matrices associated to inner products.
Linear maps, matrices associated to linear maps. Image and inverse image of subspaces, kernel and image of a linear map. Isomorphisms of linear spaces.
Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of an endomorphism. Characteristic polynomial, direct sum of eigenspaces. Diagonalizable endomorphisms and matrices. Diagonalization criteria and consequences.
Selfadjoint endomorphisms and spectral theorem for real symmetric matrices. The complex case.
Linear and bilinear forms. Linear forms and dual space. Bidual space, canonical isomorphism and transpose of a linear map. Symmetric bilinear forms: associated matrices, quadratic forms. Real quadratic forms: signature and Sylvester theorem.
Analytic geometry in plane and space: cartesian coordinates, lines, planes spheres and circles. Reciprocal positions, distances and angles between lines and planes. Conics: canonical form and reduction to canonical form. Quadrics.