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Geometria UNO (DM 270) - a.a. 2013/14

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Geometry ONE

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Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica
MFN1626
Docenti
Prof. Alberto ALBANO (Titolare del corso)
Prof. Cinzia Casagrande (Titolare del corso)
Prof. Andrea Mori (Titolare del corso)
Dott. Alessandra Bernardi (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
1° anno
Periodo didattico
Primo semestre Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto
Prerequisiti
Nessuno
Propedeutico a
Tutti i corsi del secondo anno
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi di algebra lineare e geometria analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi ed alla comprensione di teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese ad altre discipline scientifiche.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",

http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )

 

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). Il corso introduce gli strumenti fondamentali della Geometria e dell'Algebra Lineare, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alla geometria analitica, all'algebra lineare (obiettivi generali) e alcune strutture algebriche di base (obiettivo 7).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica del corso consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante (obiettivo 1), di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della Geometria Analitica e dell'Algebra Lineare (obiettivo 2), di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà formulati nel linguaggio naturale e di trarre profitto da questa formulazione per la loro soluzione (obiettivo 3).

Autonomia di giudizio (making judgements). Il corso prevede la dimostrazione di teoremi quindi permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni (obiettivo 1), di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti errati o lacunosi (obiettivo 2). Vengono inoltre studiati vari esempi di applicazioni alle scienze, in modo da mettere in grado lo studente di proporre e analizzare modelli matematici associati a situazioni concrete di moderata difficoltà derivanti da altre discipline e di usare tali modelli per facilitare lo studio della situazione originale (obiettivo 3).

Abilità comunicative (communication skills). L'esame scritto ed orale richiede lo sviluppo di capacità comunicative per quanto concerne problemi, idee e soluzioni nel settore della Geometria (obiettivo 1).

Capacità di apprendimento (learning skills)
Il corso fornisce strumenti basilare per lo sviluppo di studi ulteriori, sia in Matematica sia in altre discipline come la Fisica o l'Economia (obiettivo 1).

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà acquisire le principali nozioni teoriche e la capacità di svolgere esercizi su spazi vettoriali, applicazioni lineari, forme bilineari, forme quadratiche, coniche, geometria analitica nel piano e nello spazio.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve almeno aver raggiunto il punteggio di 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. PROVE PARZIALI: e' possibile essere ammessi all'orale anche superando due prove scritte parziali. La prima prova parziale si terra' nell'appello di febbraio, in contemporanea con l'esame scritto. La seconda prova parziale si terra' negli appelli di giugno e luglio (in contemporanea con gli scritti) e si puo' sostenere una volta sola (o a giugno, o a luglio). Per accedere alla prova orale tramite le prove parziali, si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 16/30 in entrambe le prove, e aver raggiunto almeno la media di 18/30. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la seconda prova parziale. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. Le prove parziali sono aperte anche a studenti degli anni precedenti, ma in un appello in cui si sostiene una prova parziale, non si puo' sostenere anche l'esame scritto.

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Programma

 

 

Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: rango e operazioni con le matrici. Determinanti e regola di Laplace. Teoremi di Rouché-Capelli e di Cramer.

Calcolo vettoriale nello spazio: operazioni tra vettori, basi ortonormali; prodotti scalare, vettoriale e misto di vettori.

Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi; somma diretta di sottospazi. Generatori e basi e dimensione di uno spazio vettoriale.

Spazi vettoriali Euclidei ed Hermitiani: prodotti scalari, disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e Minkowski. Ortogonalità, basi ortonormali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, complemento ortogonale. Matrici associate a prodotti scalari.

Applicazioni lineari: definizione, matrici associate alle applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di spazi vettoriali.

Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; polinomio caratteristico, somma diretta di autospazi. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e conseguenze. Endomorfismi autoaggiunti e teorema spettrale per le matrici simmetriche. Isometrie di spazi vettoriali con prodotto scalare.

Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione lineare trasposta.. Forme bilineari simmetriche: matrici associate, forme quadratiche reali e loro classificazione. Forma canonica e forma normale di una forma quadratica. Segnatura di una forma quadratica e teorema di Sylvester.

Geometria analitica nel piano e nello spazio: coordinate cartesiane, rette, piani, sfere circonferenze e loro rappresentazioni. Fasci di  piani e di sfere. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche e quadriche: forma canonica e riduzione a forma canonica.

 

Linear systems: solutions with the Gauss reduction method. Matrices: rank and operations with matrices.

Determinants and Laplace’s rule. Theorems of Rouché-Capelli and Cramer.

Vector calculus in space: operations with vectors, othonormal basis. Scalar, vector and mixed product of vectors.

Vector spaces over a field K: definition, linear subspaces. Sum and intersection of linear subspaces. Direct sum of subspaces. Generators, basis and dimensions of vector spaces.

Euclidean and Hermitian vector spaces: inner products, Cauchy-Schwartz and Minkowski inequalities. Orthogonality, orthonormal basis, Gram-Schmidt orthogonalisation process, orthogonal complement. Matrices associated to inner products.

Linear maps: definitions, matrices associated to linear maps. Image and inverse image of subspaces, kernel and image of a linear map. Isomorphisms of linear spaces.

Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of an endomorphism. Characteristic polynomial, direct sum of eigenspaces. Diagonalizable endomorphisms and matrices. Diagonalization criteria and consequences. Selfadjoint endomorphisms and spectral theorem for symmetric matrices. Isometries of inner product spaces.

Linear and bilinear forms. Linear forms and dual space. Bidual space, canonical isomorphism and transpose of a linear map. Symmetric bilinear forms: associated matrices, real quadratic forms and their classification. Canonical and normal form of a quadratic form. Signature of a quadratic form and Sylvester theorem.

Analytic geometry in plane and space: cartesian coordinates, lines, planes spheres and circles and their representations. Pencils of planes and spheres. Reciprocal positions, distances and angles between lines and planes. Conics and quadrics: canonical form and reduction to canonical form.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Abbena, Fino, Gianella, Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012.

Lang, Introduction to Linear Algebra Lineare, Springer 1986.


Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer).


Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 2000.


In linea generale ogni volume di Algebra Lineare e di Geometria Analitica può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.



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Note

GEOMETRIA UNO, MFN1626 (DM270), 12 CFU: 12 CFU, MAT/03, TAF A (Base), Ambito Formazione Matematica di Base

 

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Ultimo aggiornamento: 26/03/2015 12:47

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