- Oggetto:
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Algebra 2
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Algebra 2
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Anno accademico 2024/2025
- Codice attività didattica
- MAT0290
- Docenti
- Andrea Mori (Titolare)
Lea Terracini (Titolare) - Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto e Orale
- Tipologia unità didattica
- corso
- Prerequisiti
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Conoscenza delle principali strutture algebriche (gruppo, anello, campo, spazio vettoriale), delle loro proprietà di base e di alcuni esempi significativi per ciascuna di esse (gruppi di permutazioni, di classi di resto e di matrici; anelli di polinomi; quozienti di Z modulo un primo; spazi vettoriali di dimensione finita su R e su C).
Basic knowledge of the main algebraic structures (group, ring, field, vector space) and of some relevant example (permutation goups, goups of matrices; groups, rings and fields of congruence classes; polynomial rings; finitely generated vector spaces over the real and the complex field). - Propedeutico a
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Gli argomenti affrontati nell'insegnamento di Algebra due sono alla base dello studio dell'algebra, della geometria e delle loro applicazioni e forniscono il linguaggio e le proprietà basilari di tutta la matematica contemporanea. La teoria degli anelli, in particolare degli anelli di polinomi e degli anelli ottenuti a partire dall'anello dei numeri interi, è alla base della geometria algebrica e della teoria dei numeri, nonchè delle loro applicazioni, come la teoria dei codici e la crittografia. I concetti di gruppo e di azione di azione di gruppo sono trasversali a tutta la matematica, così come la teoria dei campi, alla base della teoria delle equazioni algebriche e della teoria di Galois.
Topics covered in the teaching of Algebra TWO are the basis of the study of algebra, geometry and their applications and provide the language and the basic properties of the whole contemporary mathematics. The ring theory, in particular polynomial rings and those arising from the ring of integer numbers, is the basis of the algebraic geometry and the theory of numbers, as well as of their applications, such as coding theory and cryptography. The concept of group and that of group action are transversal to whole mathematics, as well as the theory of fields, which is at the basis of the study of algebraic equations and Galois theory. - Oggetto:
Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
L'algebra è una delle discipline fondamentali e indispensabili nella
matematica moderna. L'insegnamento di Algebra 2 si propone di approfondire lo studio dell'algebra, introdotto negli insegnamenti precedenti, sviluppando le conoscenze delle strutture algebriche, dei loro isomorfismi, delle loro sottostrutture e dei loro quozienti.
Particolare enfasi sarà data alla chiarezza dell'espressione formale, al rigore delle argomentazioni e alla precisione del linguaggio che sono competenze che caratterizzano la formazione di ogni matematico.Lo studio dei teoremi e delle loro dimostrazioni permetterà di apprendere metodologie dimostrative allo scopo di sviluppare la capacità di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose necessarie per risolvere problemi di moderata difficoltà che richiedano l'elaborazione di strategie risolutive non ripetitive.
Algebra is one of the key disciplines in modern mathematics. The course Algebra DUE aims to deepen the study of modern algebra, introduced in previous courses, developing the knowledge of algebraic structures, their isomorphisms, their substructures and their quotients.
In addition to the knowledge of the theory, the course aims to develope the clarity and accuracy of arguments and language that any mathematician must possess. The study of theorems and their proofs develops the capacity to make rigorous proofs autonomously and to solve problems of moderate difficulty that also require original strategies and insight.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà conoscere in modo abbastanza approfondito le principali strutture algebriche, dovrà conoscere le loro proprietà, e dovrà saper usare queste conoscenze per risolvere problemi anche di tipo teorico, formulare congetture ed elaborare semplici dimostrazioni relative agli argomenti svolti.
Sarà in grado di esprimere quanto studiato o elaborato autonomamente utilizzando un linguaggio rigoroso. Sarà in grado di leggere e consultare testi relativi agli argomenti svolti, anche in lingua inglese.
Students shall acquire a sufficiently deep knowledge of the main algebraic structures and their features, and will be able to use this knowledge to solve problems both of practical and theoretical type, formulate conjecture and produce simple proofs related to the topics of this course.
They will be able to express what they have learnt or produced autonomously using a rigorous language. They also will be able to read texts and books related to the course, also in English.- Oggetto:
Programma
Teoria dei gruppi: richiami della teoria di base. Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati. Teoremi di isomorfismo. Prodotto semidiretto ed estensioni di gruppi. Azione di un gruppo su un insieme, stabilizzatori, orbite e sue applicazioni. Teoremi di Sylow e applicazioni. Gruppi liberi. Presentazioni di un gruppo mediante generatori e relazioni.
Teoria dei campi: estensioni di campi e loro morfismi. Grado di un'estensione e sua moltiplicatività. Elementi algebrici e loro polinomi minimi. Elementi e estensioni trascendenti. Il problema classico dei numeri costruibili con riga e compasso. Campi algebricamente chiusi (cenni al teorema fondamentale dell'algebra). Campo di spezzamento di un polinomio e classificazione dei campi finiti.
Group theory: survey of basic theory. Classification of finitely generated abelian groups. Isomorphism theorems. Semidirect product and group extensions. Groups acting on a set, stabilizers, orbits and applications. Sylow theorems and applications. Free groups. Presentations of a group by generators and relations.
Field theory: field extensions and their morphismsi. Degree of a field extension and its multiplicativity. Algebraic elements and minimal polynomials. Transcendental elements and field extensions. The classical problem of numbers constructible by ruler and compass. Algebraically closed fields (hint to the fundamental theorem of algebra). Splitting field of a polynomial and classification of finite fields.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore di lezioni frontali, comprensive di teoria ed esercizi.
The teaching consists of 48 hours of lessons that will take place in the classroom, including theory and exercises.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta della durata di 2 ore e di un colloquio orale.
La prova scritta consiste nella risoluzione di problemi.
La prova orale dovrà svolgersi nello stesso appello della prova scritta.The exam consists of a written test, lasting 2 hours, and an oral discussion.
In the written part the student is required to solve problems. The oral part must be taken in the same session of the written one.Testi consigliati e bibliografia
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I testi consigliati per il corso sono:
1. Piacentini Cattaneo, Algebra, Decibel e Zanichelli;
2. M.A.Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-verlag;
3. Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-verlag.Saranno distribuite note del corso.
1. Piacentini Cattaneo, Algebra, Decibel e Zanichelli;
2. M.A.Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-verlag;
3. Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-verlag.Class notes will be handed.
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Note
- Registrazione
- Aperta
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