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Oggetto:
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Geometria Algebrica - a.a. 2008/09

Oggetto:

Anno accademico 2008/2009

Codice dell'attività didattica
Vedi Avvalenza
Docente
Prof. Alberto Collino (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Specialistica in Matematica
Anno
4° anno 5° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
Altre attività
Crediti/Valenza
7
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Mutuato da
Cod. MFN0057 Ambito A - Cod. MFN0058 Ambito G
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria della risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali. La geometria algebrica studia queste soluzioni da un punto di vista globale, mediante la teoria delle varietà algebriche. Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà delle loro prime proprietà significative.
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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria elementare di alcune notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare i concetti di dimensione e la costruzione di opportune corrispondenze di ‘incidenza’ per provare che le superficie di grado 3 di necessità contengono rette
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Programma


 

Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita

Pre-requisiti (in ingresso)

Insegnamenti fornitori

Teoria elementare degli anelli

Algebra I

Algebra lineare elementare

Geometria II

Elementi di topologia e di geometria differenziale

Geometria III e IV

 

Competenze minime (in uscita)

Insegnamenti fruitori

Conoscenza dei concetti fondamentali elementari della teoria delle varietà algebriche.

i corsi di geometria e topologia della laurea magistrale

. Programma, articolazione e carico didattico

Argomento

Ore

Lezione

Totale Ore di Carico Didattico

Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert.
Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini.

12

12

Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali, equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un'ipersuperficie. Prodotti.

12

12

Dimensione ed altre proprieta’.Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in una varietà algebrica. Punti singolari, i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell'intersezione con un'ipersuperficie. Il teorema sulla dimensione delle fibre.Rette su una superficie. Rette su una generica superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.

18

18

Varieta’ Algebriche notevoli

14

14

Totale

56

56

Lo studente sarà in grado di   descrivere la geometria elementare di alcune

  notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre.   Maneggerà i concetti di  morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive.  Sarà in grado di usare i concetti di dimensione e la costruzione di opportune corrispondenze di ‘incidenza’ per provare  che le  superficie di grado 3   di necessità contengono rette

 

Richiami di algebra commutativa.
Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert.
Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini.
Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali, equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un'ipersuperficie. Prodotti. L'immagine di una varietà proiettiva è chiusa.
Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in una varietà algebrica. Punti singolari, i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell'intersezione con un'ipersuperficie. I sottoinsiemi di codimensione $1$ dello spazio affine e proiettivo sono ipersuperficie. Il teorema sulla dimensione delle fibre.
Rette su una superficie. Rette su una generica superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.
 

Testi consigliati e bibliografia

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NOTE DATTILOSCRITTE IN ITALIANO, per consultazione:
M. REID, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press
J. HARRIS, Algebraic Geometry, Springer
SHAFAREVIC, Basic Algebraic Geometry 1, Springer


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Note

L'esame si svolge, di norma, come segue: prova orale.
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Ultimo aggiornamento: 30/09/2009 16:29

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