Corso di laurea in matematica

1. Serie numeriche (Vol I, Cap XII)

1.1. Convergenza e somma di una serie. Serie geometriche, armoniche, telescopiche. Condizioni per la convergenza; criterio di Cauchy; condizione necessaria (test di non convergenza). Convergenza assoluta;

1.2. Relazione fra serie e integrali impropri.

1.3. Altri criteri di convergenza. Serie a termini positivi: criterio del confronto; del confronto asintotico; del rapporto; della radice; Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.

Esercizi di tipo teorico: 17,18,19,36. Esercizi di calcolo: 21,22,23,24,25,26,28,29,35,39.. esercizi di riflessione: 31,32,33,34.

2. Successioni e serie di funzioni (Vol II, Cap II)

2.1. Serie di potenze. Insieme di convergenza e raggio di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze.

2.2. Serie di Taylor. Esponenziale, seno, coseno, serie binomiale. Funzioni analitiche. Criterio di sviluppabilita`.

2.3. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Convergenza delle serie di Fourier. Serie di Fourier associata ad una funzione: calcolo dei coefficienti, relazioni di ortogonalita`. Convergenza puntuale della serie di Fourier associata ad una funzione, condizione (D) di Dirichlet (senza dimostrazione). Convergenza in media quadratica e disuguaglianza di Bessel.

2.4. Il concetto di convergenza uniforme per successioni e serie di funzioni. Continuita` del limite uniforme, passaggio al limite sotto segno di integrale, passaggio al limite sotto il segno di derivata. Criterio di Weierstrass per la convergenza uniforme delle serie. Applicazione alle serie di Taylor e di Fourier.

Esercizi di tipo teorico: 3,15,49. Esercizi di tipo pratico: 1,4,6,9,20,21,29,31,32,41,42,44,45,46,47. Complementi ed esercizi di riflessione: 6,7,23,24,25.

3. Curve, grafici e superfici nello spazio (Vol II, Cap V)

3.1. Curve parametriche e grafici di funzioni. Funzioni di una varabile a valori vettoriali. Con- tinuita`, derivazione e integrazione componente per componente. Curve regolari, versore e retta tangente. Applicazioni alla meccanica. Leggi di Newton e leggi di conservazione. Lunghezza di una curva e ascissa curvililnea.

3.2. Funzioni di due variabili e loro grafici. Sezioni e curve di livello. Limiti e continuita` delle funzioni di due e piu` variabili. Superfici prametriche e cartesiane.

Esercizi di conto: 1,2,3,4,11,24,25,27,28,31,32. Esercizi di ragionamento: 8,9,19, 33. Esercizi teorici: 20,21,30

4.Calcolo differenziale per funzioni di due e piu` variabili (Vol II, Cap VI e parte del Cap VII)

4.1. Derivate parziali, gradiente, derivate direzionali e loro significato geometrico.

4.2. Differenziabilita` e approssimazioni lineari nel caso generale di funzioni fra spazi euclidei (Cap VII §6). Differenziale e matrice Jacobiana. Differenziabilita` della funizioni di due variabili: piano tangente e vettore normale al grafico. Contininuita` delle funzioni differenziabili. La migliore approssimazione lineare. Teorema del differenziale totale. Funzioni di classe C1. Conseguenze della differenziabilita`: continuita` delle funzioni differenziabili, derivabilita` direzionale e formula del gradi- ente. Piano tangente ad una superficie parametrica e vettore normale. Superfici regolari.

4.3. Differenziabilita` delle funzioni composte. Teorema generale (Cap VII §7, dimostrazione facoltativa). Dimostrazione nel caso particolare della composizione di una funzione di due variabili con una di una variabile a valori vettoriali (f ◦ r).

4.4. Derivate successive e teorema di Schwarz (Cap VII §9). Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine.

4.5. Valori di massimo e di minimo e punti di estremo libero. Punti critici. Condizione necessaria di estremalita`. Punti di sella. Forme quadratiche e classificazione dei loro punti critici. Condizioni sufficiente di estremalita` locale: test dell’Hessiana (Cap VII §11).

4.6. Funzioni continue su compatti e Teorema di Weierstrass (Cap VII §4). Massimi e minimi su domini chiusi e limitati. Funzioni convesse. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Funzioni implicite e Teorema di Dini.

Svolgere gli tutti gli esercizi del capitolo VI fino ad acquisire sveltezza e disinvoltura. In un secondo momento, provare a cimentarsi con i seguenti esercizi del capitolo VII: dal 29 al 36. Gli esercizi teorici dal 37 al 43 sono consigliati ad un pubblico interessato ad approfondire la propria preparazione.

5. Integrali multipli (Vol II, Cap IX)

5.1. Integrali doppi sui rettangoli: integrale secondo Riemann; integrali iterati e formule di riduzione sui rettangoli.

5.2. Integrazione su domini generici. Integrazione su domini semplici e formule di riduzione (senza dimostrazione). Area di una regione piana. La misura di Peano-Jordan. Misura, integrale densita`.

5.3. Cambiamento di variabile negli integrali doppi. Integrali in coordinate polari.

5.4. Area di superfici cartesiane e parametriche regolari. 

5.5. Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabile negli integrali tripli.  

Esercizi: 6,7,8,15,15,16,17,18,20,21,22,24,25,26,43,44,45,46,47. Applicazioni: Esercizi di tipo teorico:51,52,53,54.

6. Integrali curvilinei e 1-forme differenziali (Vol II, Cap X §1-4)

6.1. Integrali curvilinei di prima specie. Interpretazione geometrica e applicazioni.

6.2. Integrali curvilinei di campi vettoriali (di seconda specie) e lavoro di una forza. Campi conservativi. Campi irrotazionali. Teorema di Gauss-Green.

6.3. Forme differenziali lineari e loro integrali sulle curve. Forme chiuse e forme esatte.

Esercizi: da 1 a 9, da 11 a 21. Esercizi di ragionamento:23 e 24. Esercizi teorici. 25,26,27 7.