- Oggetto:
- Oggetto:
Matematiche Elementari p.v.s. - a.a. 2008/09
- Oggetto:
Anno accademico 2008/2009
- Codice dell'attività didattica
- Vedi Avvalenza
- Docente
- Prof. Livia Giacardi (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Specialistica in Matematica
- Anno
- 4° anno 5° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- Altre attività
- Crediti/Valenza
- 7
- SSD dell'attività didattica
- MAT/04 - matematiche complementari
- Mutuato da
- Cod. MFN0090 Ambito A - Cod. MFN0091 Ambito G
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
- Presentare gli aspetti teorici e fondazionali di alcuni importanti capitoli della teoria dei numeri mostrando le connessioni con altri rami della matematica e delle scienze in genere
- Illustrare levoluzione storica dei concetti e dei metodi
- Avviare alla ricerca attraverso lo studio e lanalisi di articoli e attraverso esercizi e problemi- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lallievo deve essere in grado di
- padroneggiare dal punto di vista teorico gli argomenti di teoria elementare dei numeri affrontati nel corso
- usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi
- conoscere levoluzione storica dei principali concetti e metodi presentati- Oggetto:
Programma
. Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)
Insegnamenti fornitori
Conoscenze di base di algebra e di analisi
Algebra 1
Analisi 1
competenze minime (in uscita)
Insegnamenti fruitori
Conoscenza degli aspetti teorici, fondazionali e storici di alcuni importanti capitoli della teoria dei numeri
Storia delle matematiche
Fondamenti delle matematiche
Didattica della matematica
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore
Seminario
Totale Ore di Car. Didattico
Le origini arcaiche; la Scuola pitagorica; La scoperta delle grandezze incommensurabili e il problema di Teodoro di Cirene; Euclide: l'algoritmo euclideo; infinità dei numeri primi; numeri perfetti; Archimede e il problema dei buoi; Diofanto: algebra sincopata, equazioni indeterminate; Aryabhata e le equazioni diofantee lineari; Bhaskara II e il metodo ciclico per risolvere equazioni del tipo x2 =Ny2 + 1 ; Dagli arabi a Fibonacci; P. de Fermat: metodo della discesa infinita, dai numeri perfetti al piccolo teorema di Fermat, lettere a Carcavi, a Mersenne e a Frenicle de Bessy; Alcuni contributi di Lagrange, di Euler e di Gauss.
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Introduzione alle frazioni continue. L’algoritmo di Euclide e le frazioni continue sviluppo di razionali. Ridotte e loro proprietà. Equazioni diofantee lineari e frazioni continue. Sviluppo in frazioni continue di irrazionali quadratici. Ridotte di una frazione continua illimitata. Teoremi di approssimazione. Interpretazione geometrica delle frazioni continue. L'equazione x2 = ax + 1 , digressioni sulla sezione aurea. Frazioni continue periodiche pure. Teoremi. Irrazionali quadratici ridotti. Rappresentazione grafica del carattere periodico dei quozienti completi.Il teorema di Lagrange. La frazione continua sviluppo di √N (N >0, non quadrato perfetto). L’equazione di Pell x2_ Ny2 = +- 1. Teorema di Legendre sull’equazione x2 - Ny2 = - 1. Come ottenere le altre soluzioni dell’equazione di Pell a partire da quella minima.
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Alcuni teoremi relativi all’approssimazione diofantea. Il teorema di Hurwitz.
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Introduzione alle congruenze. Loro proprietà. Congruenze lineari. Il piccolo teorema di Fermat: la dimostrazione di J. Ivory, la generalizzazione di Euler. Proprietà della funzione phi(m) di Euler. Il teorema cinese dei resti. Teorema di Euler e teorema di Wilson. Le congruenze e i criteri di divisibilità. Congruenze algebriche. Congruenze relative a un modulo primo. Residui k-esimi rispetto al modulo p, residui quadratici: generalità. Radici primitive, indici e loro utilizzo. I residui quadratici, il simbolo di Legendre per la caratteristica quadratica di un intero a rispetto a un primo p. Criterio di Euler per la caratteristica quadratica di a. Il lemma di Gauss. La legge di reciprocità quadratica.
I fondamenti dell’aritmetica secondo Dedekind e Peano.
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Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- I testi base consigliati per il corso sono:
H. DAVENPORT, Aritmetica superiore. Unintroduzione alla teoria dei numeri, Bologna, Zanichelli, 1994
C.D. OLDS, Frazioni continue, Bologna, Zanichelli, 1963
K. ROSEN, Elementary Number Theory and its Applications, Addison-Wesley, 1993
A. WEIL, Number Theory. An Approach through History from Hammurabi to Legendre, Boston, Birkhäuser 1983.È consigliato lutilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
G.H. HARDY, E. M. WRIGHT, An introduction to the theory of numbers, Oxford, Clarendon Press, 1960
L. E. DICKSON, History of the theory of numbers, Washington, Carnegie Institution of Washington, 1919-1923, 3 voll.
C. BREZINSKI, History of Continued Fractions and Padé Approximants, Springer-Verlag, 1991
Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.numbertheory.org/ntw/
http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/cerruti/
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Indexes/Number_Theory.html - Oggetto:
Note
Modalità di esame:
l'esame si svolge, di norma, come segue:
Seminario tenuto dallo studente su temi complementari alle lezioni scelti in accordo col docente
Prova orale in cui si mira a valutare le competenze teoriche sulla materia del corso, quelle storiche e la capacità di applicarle a esercizi o problemi.- Oggetto: