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Geometria 3

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Geometry 3

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN0349
Docente
Prof. Alberto Albano (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Conoscenza di:
- le nozioni di base di topologia e la nozione di superficie topologica
- la nozione di differenziabilità per funzioni di più variabili, di 1-forma differenziale e integrale di una 1-forma lungo un cammino, 1-forme chiuse e esatte.

Gli studenti che hanno seguito i corsi di Geometria 2 e Analisi Matematica 2 sono in possesso di questi prerequisiti.

Knowledge of:
- basic notions in topology and the concept of topological surface
- the notion of differentiable function of several variables, differential 1-form, integral of a 1-form along a path, closed and exact 1-forms.

Students who have taken the classes of "Geometria 2" and "Analisi Matematica 2" already have these prerequisites

Propedeutico a
Gli insegnamenti di Geometria 4 e Meccanica Razionale del terzo anno
The courses Geometria 4 and Meccanica Razionale in the third year
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

L'insegnamento sviluppa i concetti fondamentali elementari della teoria delle curve e delle superfici differenziabili, presentando lo studio della curvatura di Gauss e la geometria delle superfici nello spazio. Una parte del corso verrà dedicata alle forme differenziali, all'integrazione su superfici e al Teorema di Stokes. Tutti questi argomenti saranno utilizzati negli studi successivi di Geometria, Analisi Matematica e Fisica Matematica.

La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della geometria differenziale e dell'analisi vettoriale.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla geometria differenziale e dell'analisi vettoriale.
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.
The course develops the basic concepts of the theory of differentiable curves and surfaces, introducing the Gaussian curvature and the geometry of  surfaces  in the space. Part of the course will be devoted to differential forms, integration on surfaces and Stokes' theorem. All these arguments will be used in subsequent studies in Geometry, Mathematical Analysis and Mathematical Physics

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of differential geometry and multivariate calculus.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to differential geometry and multivariate calculus
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in class.
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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente sarà in grado di gestire gli strumenti di base per lo studio delle curve e delle superfici differenziabili e avrà acquisito dimestichezza con l'integrazione su superfici. Lo studente sarà inoltre in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli superfici differenziabili. Inoltre avrà acquisito:

1. Familiarità con argomenti astratti.
2. Abilità a generalizzare ed applicare le idee ad esempi specifici.
3. Conoscenza della geometria differenziale e del suo ruolo nella matematica.
4. Familiarità con risultati che richiedono idee legate alla geometria differenziale nelle loro dimostrazioni.

Students will be able to use the basic tools for the study of differentiable curves and surfaces and for the integration on surfaces. They will be able to describe the geometry of the most notable differentiable surfaces. Moreover they

1. will be familiar with abstract arguments;
2. will be able to generalize and apply ideas to specific examples;
3. will know some differential geometry and its role in mathematics;
4. will be familiar with results which require ideas connected with differential geometry for their proofs.

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Programma

1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate. Significato geometrico di curvatura e torsione in termini di comportamento locale della curva; piano osculatore e circonferenza osculatrice. Definizione di 1-sottovarietà in Rn. Ogni 1-sottovarietà ammette una parametrizzazione globale, che induce omeomorfismo con la retta o con la circonferenza.

2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio:  Superfici regolari in R3. Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Integrale di superficie e area. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss, e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana,  curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium. Le geodetiche. Il teorema di Gauss-Bonnet. 

3. Forme differenziali su Re teorema di Stokes:  Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale, prodotto esterno. Campi vettoriali. Forme differenziali su Rn.  Pull-back, prodotto esterno e differenziale esterno.  Forme chiuse e forme esatte. Relazione con gli integrali curvilinei (richiami di quanto visto in Analisi 2). Integrale di una 2-forma su una superficie. Il teorema di Stokes per integrali di 2-forme su superfici. Interpretazione in termini di campi vettoriali: rotore, divergenza, flusso, teorema del rotore.

1. Differential geometry of space curves: parametric curves, arc length. The Frenet trihedron: unit tangent vector, normal vector and binormal vector. Curvature and torsion, Frenet equations. Uniqueness up to rigid motion of a curve with prescribed curvature and torsion. Geometrical meaning of curvature and torsion in terms of the local behaviour of the curve; osculating plane and osculating circle. Definition of 1-subvariety of Rn. Every 1-subvariety admits a global parametrization, which induces a homeomorphism with either the line, or the circle.

2. Differential geometry of surfaces in space: Smooth surfaces in R3. Tangent plane and normal vector; orientability. The first fundamental quadratic form. Surface integral, area. Isometries and local isometries. The Gauss map, the differential of the Gauss map, and the second fundamental quadratic form. Gaussian curvature, mean curvature, principal curvatures; local behaviour of the surface with respect to the tangent plane. The Theorema Egregium. Geodesics. The Gauss-Bonnet theorem.

3. Differential forms on Rn and Stokes theorem: Multilinear alternating forms on a vector space, wedge product. Tangent vectors to Rn, vector fields. Differential forms on Rn. Pull-back, wedge product, exterior differential. Closed forms and exact forms. Relationship with line integrals (recall from Analisi 2). Integral of a 2-form along a surface. Stokes theorem for integrals of 2-forms on surfaces. Interpretation in terms of vector fields: curl, divergence, flux, curl theorem.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto nel secondo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.
The course is taught in the second semester and consists of 48 hours (6 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 2 ore e mezza. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.

Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame  in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.

Eventuali studenti stranieri possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano, inglese o francese. 

The exam consists in a written examination and an oral examination, both mandatory.

The written examination consists in exercises to solve, and usually lasts 2 hours and a half. The students can consult their own books and notes during the exam, but not in electronic form; a basic calculator is allowed.

For admission to the oral examination, it is necessary to get a grade of at least 18/30 at the written examination. The oral examination must be taken in the same exam session of the written examination.  If a student fails the oral examination, s/he must repeat also the written examination.

The oral examination consists of questions on the theory and the proofs treated in the course, and ofter includes a discussion of the written examination.

Foreign students can choose to take the exam in Italian, English, or French.

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Testi consigliati e bibliografia

Per curve e superfici:

Curve e superfici
Autore: Marco ABATE, Francesca TOVENA
Casa editrice: Springer
ISBN: 8847005353 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1941-6

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Dover Publications
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://store.doverpublications.com/0486806995.html

 

Per forme differenziali, campi vettoriali, teorema di Stokes:

Differential Forms and Applications
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Springer
ISBN: 978-3-540-57618-1 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://www.springer.com/it/book/9783540576181

Analisi Matematica 2
Autore: Carlo Domenico PAGANI, Sandro SALSA
Casa editrice: Zanichelli
ISBN: 9788808637086 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-matematica-pagani-salsa-001

 

For curves and surfaces:

Curves and surfaces
Autore: Marco ABATE, Francesca TOVENA
Casa editrice: Springer
ISBN: 8847005353 (<-- link to library catolague)
Url: https://www.springer.com/it/book/9788847019409

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Dover Publications
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://store.doverpublications.com/0486806995.html

 

For differential forms, vector fields, and Stokes theorem: 

Differential Forms and Applications
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Springer
ISBN: 978-3-540-57618-1 (<-- link to library catolague)
Url: https://www.springer.com/it/book/9783540576181

Analisi Matematica 2
Autore: Carlo Domenico PAGANI, Sandro SALSA
Casa editrice: Zanichelli
ISBN: 9788808637086 (<-- link to library catolague)
Url: https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-matematica-pagani-salsa-001

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Note

La pagina web del corso è su moodle.
The web page of the course is on moodle.

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 24/06/2019 18:13

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