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Oggetto:
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Geometria 3

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Geometry 3

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Anno accademico 2019/2020

Codice dell'attività didattica
MFN0349
Docente
Alberto Albano (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Conoscenza di:
- le nozioni di base di topologia e la nozione di superficie topologica
- la nozione di differenziabilità per funzioni di più variabili, di 1-forma differenziale e integrale di una 1-forma lungo un cammino, 1-forme chiuse e esatte.

Gli studenti che hanno seguito i corsi di Geometria 2 e Analisi Matematica 2 sono in possesso di questi prerequisiti.

Knowledge of:
- basic notions in topology and the concept of topological surface
- the notion of differentiable function of several variables, differential 1-form, integral of a 1-form along a path, closed and exact 1-forms.

Students who have taken the classes of "Geometria 2" and "Analisi Matematica 2" already have these prerequisites

Propedeutico a
Gli insegnamenti di Geometria 4 e Meccanica Razionale del terzo anno
The courses Geometria 4 and Meccanica Razionale in the third year
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento sviluppa i concetti fondamentali elementari della teoria delle curve e delle superfici differenziabili, presentando lo studio della curvatura di Gauss e la geometria delle superfici nello spazio. Una parte del corso verrà dedicata alle forme differenziali, all'integrazione su superfici e al Teorema di Stokes. Tutti questi argomenti saranno utilizzati negli studi successivi di Geometria, Analisi Matematica e Fisica Matematica.

La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della geometria differenziale e dell'analisi vettoriale.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla geometria differenziale e dell'analisi vettoriale.
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.
The course develops the basic concepts of the theory of differentiable curves and surfaces, introducing the Gaussian curvature and the geometry of  surfaces  in the space. Part of the course will be devoted to differential forms, integration on surfaces and Stokes' theorem. All these arguments will be used in subsequent studies in Geometry, Mathematical Analysis and Mathematical Physics

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of differential geometry and multivariate calculus.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to differential geometry and multivariate calculus
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in class.
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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente sarà in grado di gestire gli strumenti di base per lo studio delle curve e delle superfici differenziabili e avrà acquisito dimestichezza con l'integrazione su superfici. Lo studente sarà inoltre in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli superfici differenziabili. Inoltre avrà acquisito:

1. Familiarità con argomenti astratti.
2. Abilità a generalizzare ed applicare le idee ad esempi specifici.
3. Conoscenza della geometria differenziale e del suo ruolo nella matematica.
4. Familiarità con risultati che richiedono idee legate alla geometria differenziale nelle loro dimostrazioni.

Students will be able to use the basic tools for the study of differentiable curves and surfaces and for the integration on surfaces. They will be able to describe the geometry of the most notable differentiable surfaces. Moreover they

1. will be familiar with abstract arguments;
2. will be able to generalize and apply ideas to specific examples;
3. will know some differential geometry and its role in mathematics;
4. will be familiar with results which require ideas connected with differential geometry for their proofs.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto nel secondo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.
The course is taught in the second semester and consists of 48 hours (6 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La modalità di esami adottata in questo anno accademico (quindi valida per gli appelli di giugno/luglio/settembre 2020 e gennaio/febbraio 2021) è la seguente, valida sia per esami online che per esami in presenza:

  • l'esame è SOLO ORALE
  • su Moodle c'è un file con degli esercizi da svolgere, circa una ventina
  • all'orale, verrà chiesto lo svolgimento di uno di questi esercizi (oltre naturalmente alle solite domande di teoria)
  • il file degli esercizi ha validità per giugno/luglio/settembre 2020. Ci sarà un nuovo file, con altri esercizi, per gli appelli di gennaio/febbraio 2021 e che verrà messo su Moodle verso ottobre/novembre.
  • gli esercizi dell'esame NON vanno consegnati
  • è possibile svolgere gli esercizi in collaborazione
  • all'orale non si possono usare appunti per esporre la soluzione degli esercizi
Eventuali studenti stranieri possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano, inglese o francese.
 

MODALITA' DI SVOLGIMENTO DELL'ESAME ONLINE

1. PRENOTAZIONI

Gli appelli di giugno e luglio 2020 si svolgeranno online, utilizzando la piattaforma webex. Per poter organizzare le sedute d'esame, le prenotazioni si chiuderanno una settimana prima dell'appello e in particolare
 
  • appello di martedì 16 giugno: chiusura prenotazioni martedì 9 giugno
  • appello di giovedì 9 luglio: chiusura prenotazioni giovedì 2 luglio
Subito dopo la chiusura delle prenotazioni, verrà preparato il calendario degli esami, che inizieranno il giorno dell'appello e proseguiranno nei giorni seguanti.
Per evitare sovraccarichi di rete, ci saranno delle sedute di circa 2 ore l'una, con 3/4 studenti alla volta.
 
Il calendario verrà pubblicato su Moodle e saranno possibili SCAMBI ALLA PARI. Due persone che si vogliono scambiare devono mandare ENTRAMBI una mail a me (Alberto Albano) indicando il nome della persona con cui vogliono fare lo scambio. I termini per chiedere lo scambio sono:
  • appello di martedì 16 giugno: scambi entro domenica 14 giugno
  • appello di giovedì 9 luglio: scambi entro martedì 7 luglio
Sono possibili anche scambi a tre, quattro, ... con le stesse regole: TUTTI devono mandarmi una mail indicando con precisione lo scambio richiesto.
 
Al termine del periodo previsto, verrà pubblicato il nuovo calendario definitivo e non saranno possibili ulteriori modifiche. Si invitano tutti gli studenti a prenotarsi per l'esame SOLO SE interessati a sostenere l'esame, altrimenti l'organizzazione diventa troppo complicata.
Contemporaneamente alla pubblicazione del calendario definitivo, gli studenti iscritti riceveranno il link a cui collegarsi per sostenere l'esame. Ogni seduta d'esame ha un link diverso.
 
ATTENZIONE: se volete assistere ad una seduta diversa dalla vostra, dovete mandare una richiesta a me via mail. Di norma non c'è problema ad assistere agli esami, se si mantiene basso il numero dei presenti (diciamo sotto i 30). A seguito della richiesta, riceverete il link per partecipare alla seduta.
Chi assiste alla prova deve tenere webcam e microfono disattivati, per non disturbare e per evitare problemi di collegamento.
 

2. PROVA SU WEBEX

Per sostenere la prova, è necessario un collegamento internet con un dispositivo munito di videocamera e microfono. Vanno bene computer, tablet o cellulari. Durante la prova la videocamera deve inquadrare il viso. Potete usare fogli di carta su cui scrivere per aiutarvi nell'esposizione. A richiesta, dovete inquadrare questi fogli per un controllo di quello che avete scritto o per meglio capire il senso del discorso fatto.

Per motivi di pubblicità dell'esame, i partecipanti alla prova devono rimanere collegati per tutta le seduta (circa 2 ore) in modo da assistere alle prove degli altri studenti.

Il voto verrà comunicato alla fine della prova come al solito. Il voto verrà registrato sul libretto online alla fine di tutte le prove dell'appello.

IMPORTANTE: se cade la connessione durante la vostra prova, l'esame riprenderà appena la connessione sarà ristabilita. Se passa troppo tempo prima della riconnessione o se la connessione cade più volte, la prova sarà rimandata ad un altro momento.

The exams in June/July/September 2020 and January/February 2021 will be conducted in the following way. This will be valid both for online exams  or in person exams.

  • the exam is an ORAL EXAM
  • on the Moodle website, you can find an exercise sheet with about 20 exercises
  • the current file on Moodle is the one that will be used for the exams in June/Juny/September 2020. There will be a different one to be used for the exams in January/February 2021
  • one of the questions at the oral exams will be one of these exercises. There will be more questions about the theory part of the course
  • you do not have to turn in a solution for all the exercises
  • collaborative work in solving the exercises is allowed
  • during the oral exam you cannot use any material to assist you in answering the question about the exercises
Foreign students can choose to take the exam in Italian, English, or French.    

PROCEDURES FOR THE ONLINE EXAM

1. REGISTRATION

In June and July 2020 the exam will online, using Webex. To assist in organizing the exams, registrations will close one week before the exam:

  • exam of Tuesday, June 16: registrations close on Tuesday, June 9
  • exam of Thursday, July 9: registrations close on Thursday, July 2

The detailed schedule for the exam will be prepared as soon as registrations are closed. The exam will start on the scheduled day and will continue in the following days.

To avoid network problems, there will be small sessions of about 2 hours, with 3/4 students in each.

The schedule will be available on Moodle and it will be possible to ask for a swap with another student. Two students asking for a swap must BOTH send a mail to Prof. Alberto Albano, stating the name of the person with whom to swap. The deadlines for swaps are:
  • exam of Tuesday, June 16: swaps before Sunday, June 14
  • exam of Thursday, July 9: swaps before Tuesday, July 7
It is possible to ask for a multi-person swap: EVERYONE involved must send a mail, detailing the complete proposed swap.   Right after the deadline expiration, the final schedule will be published and no other modifications will be made. We remind all student to register ONLY IF they are sure they will take the exam, to avoid complications in the organization.   With the final schedule, all students registered for the exam will receive the link to connect to for the exam. Every exam sessione has a different link.   NOTICE: if you want to listen to the exams in another session, you must send me an email with the request. Normally the request is granted, as long as the number of partecipants is not too big (below 30). You will also receive the link to connect to. If you are just listening, you must deactivate your webcam and microphone.    

2. WEBEX SESSION

To take the exam you need an Internet connection with a device that has a webcam and a microphone. Computers, tablets or cell phones are OK. The webcam must show your face during the exam. You can use white paper sheets to write on, in order to help you answer the questions. If requested, you must show these sheets using the webcam, to check what you have written.

As the exam is public (by law), all partecipants must stay connected for all the duration (2 hours) and listen to the other students' exams.

The grade will be given at the end of the oral exam, as always. It will show on "libretto online" at the end of all exams.

NOTICE: if you have connection problems during the exam, the exam will resume as soon as they are resolved. If it takes too much time to solve the connection problem or if there are too many of them, the exam will be rescheduled at a later time.

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Programma

1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate. Significato geometrico di curvatura e torsione in termini di comportamento locale della curva; piano osculatore e circonferenza osculatrice. Definizione di 1-sottovarietà in Rn. Ogni 1-sottovarietà ammette una parametrizzazione globale, che induce omeomorfismo con la retta o con la circonferenza.

2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio:  Superfici regolari in R3. Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Integrale di superficie e area. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss, e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana,  curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium. Le geodetiche. Il teorema di Gauss-Bonnet. 

3. Forme differenziali su Re teorema di Stokes:  Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale, prodotto esterno. Campi vettoriali. Forme differenziali su Rn.  Pull-back, prodotto esterno e differenziale esterno.  Forme chiuse e forme esatte. Relazione con gli integrali curvilinei (richiami di quanto visto in Analisi 2). Integrale di una 2-forma su una superficie. Il teorema di Stokes per integrali di 2-forme su superfici. Interpretazione in termini di campi vettoriali: rotore, divergenza, flusso, teorema del rotore.

1. Differential geometry of space curves: parametric curves, arc length. The Frenet trihedron: unit tangent vector, normal vector and binormal vector. Curvature and torsion, Frenet equations. Uniqueness up to rigid motion of a curve with prescribed curvature and torsion. Geometrical meaning of curvature and torsion in terms of the local behaviour of the curve; osculating plane and osculating circle. Definition of 1-subvariety of Rn. Every 1-subvariety admits a global parametrization, which induces a homeomorphism with either the line, or the circle.

2. Differential geometry of surfaces in space: Smooth surfaces in R3. Tangent plane and normal vector; orientability. The first fundamental quadratic form. Surface integral, area. Isometries and local isometries. The Gauss map, the differential of the Gauss map, and the second fundamental quadratic form. Gaussian curvature, mean curvature, principal curvatures; local behaviour of the surface with respect to the tangent plane. The Theorema Egregium. Geodesics. The Gauss-Bonnet theorem.

3. Differential forms on Rn and Stokes theorem: Multilinear alternating forms on a vector space, wedge product. Tangent vectors to Rn, vector fields. Differential forms on Rn. Pull-back, wedge product, exterior differential. Closed forms and exact forms. Relationship with line integrals (recall from Analisi 2). Integral of a 2-form along a surface. Stokes theorem for integrals of 2-forms on surfaces. Interpretation in terms of vector fields: curl, divergence, flux, curl theorem.

Testi consigliati e bibliografia

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Per curve e superfici:

Curve e superfici
Autore: Marco ABATE, Francesca TOVENA
Casa editrice: Springer
ISBN: 8847005353 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1941-6

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Dover Publications
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://store.doverpublications.com/0486806995.html

 

Per forme differenziali, campi vettoriali, teorema di Stokes:

Differential Forms and Applications
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Springer
ISBN: 978-3-540-57618-1 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://www.springer.com/it/book/9783540576181

Analisi Matematica 2
Autore: Carlo Domenico PAGANI, Sandro SALSA
Casa editrice: Zanichelli
ISBN: 9788808637086 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-matematica-pagani-salsa-001

 

For curves and surfaces:

Curves and surfaces
Autore: Marco ABATE, Francesca TOVENA
Casa editrice: Springer
ISBN: 8847005353 (<-- link to library catolague)
Url: https://www.springer.com/it/book/9788847019409

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Dover Publications
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://store.doverpublications.com/0486806995.html

 

For differential forms, vector fields, and Stokes theorem: 

Differential Forms and Applications
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Springer
ISBN: 978-3-540-57618-1 (<-- link to library catolague)
Url: https://www.springer.com/it/book/9783540576181

Analisi Matematica 2
Autore: Carlo Domenico PAGANI, Sandro SALSA
Casa editrice: Zanichelli
ISBN: 9788808637086 (<-- link to library catolague)
Url: https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-matematica-pagani-salsa-001



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Orario lezioni

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Note

 

ATTENZIONE: tutte le informazioni riguardo alla didattica durante la sospensione per CORONAVIRUS sono sulla pagina di Moodle

 

CAUTION: all information on classes during the suspension caused by CORONAVIRUS will be found on the Moodle page

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Ultimo aggiornamento: 25/05/2020 14:46

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