Corso di laurea in matematica

1. Introduzione

Operatori differenziali fondamentali: gradiente, divergenza, laplaciano. Introduzione e giustificazione dell’equazione di Poisson e di Laplace e dei relativi problemi di Dirichlet nell’ambito del problema generale dell’elettrostatica e di quello delle superfici minimali non parametriche.

2. Funzioni armoniche

Definizione ed esempi elementari. Formule per il volume della palla n-dimensionale e per l’area della sua frontiera. Nozioni di media superficiale e media volumetrica. Caratterizzazione delle funzioni armoniche mediante la proprietà della media. Regolarità delle funzioni armoniche. Teorema di Liouville. Principio del massimo.

3. Equazione di Poisson

Soluzione fondamentale dell’operatore di Laplace. Identità di Stokes. Equazione di Poisson su tutto lo spazio con dato C2, a supporto compatto, espressa in forma integrale. Esistenza e unicità per un problema ai limiti per l’equazione di Poisson su tutto lo spazio in dimensione n≥3. Equazione di Poisson su dominio limitato con dato C2.

4. Problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson. Estensioni armoniche.

Unicità della soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson via principio del massimo. Riduzione al problema dell’estensione armonica. Estensioni armoniche sul disco bidimensionale (rappresentazione in serie di Fourier). Elementi di teoria delle serie di Fourier. Nozione di funzione di Green per l’operatore armonico su dominio limitato con condizione di Dirichlet al bordo. Rappresentazione integrale dell’estensione armonica. Calcolo della funzione di Green per la palla unitaria n-dimensionale. Estensioni armoniche sulla palla n-dimensionale (formula integrale di Poisson). Principio di Dirichlet.  

5. Equazione del calore

Costruzione dell'equazione del calore come modello descrittivo di un fenomeno diffusivo con flusso controgradiente. Soluzione fondamentale e sue proprietà. Problema di Cauchy per l'equazione del calore omogenea su tutto lo spazio: esistenza di una soluzione espressa in forma integrale. Regolarità, limitatezza e decadimento della soluzione, conservazione della massa totale. Esempi: soluzione dell'equazione del calore 1-dimensionale con condizione iniziale di Heaviside e con condizione iniziale esponenziale. Principio del massimo per l'equazione del calore. Unicità della soluzione limitata per il problema di Cauchy su tutto lo spazio via principio del massimo. Costruzione della soluzione del problema misto di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore 1-dimensionale con condizioni nulle agli estremi (metodo di separazione delle variabili). Unicità della soluzione del problema misto di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore su dominio limitato regolare via metodo dell'energia. Unicità retrograda della soluzione del problema per l'equazione del calore su dominio limitato con condizioni di Dirichlet al bordo via metodo dell'energia. 

6. Equazioni del primo ordine: equazione del trasporto.

Costruzione delle equazioni di trasporto come modelli descrittivi di fenomeni diffusivi con flusso lineare o non lineare. Formula della soluzione del problema di Cauchy per equazioni lineari. Equazioni quasilineari: caratterizzazione geometrica del grafico di una soluzione. Il grafico di una soluzione è unione di curve caratteristiche. Il metodo delle caratteristiche per la risoluzione di equazioni quasilineari del primo ordine. Teorema di esistenza locale. Significato del coefficiente a come velocità di propagazione nel caso di equazioni omogenee. Leggi di conservazione scalari unidimensionali. Rappresentazione implicita della soluzione (locale) del problema iniziale. Condizioni necessarie e/o sufficienti per l'esistenza della soluzione del problema di Cauchy.
Definizione di tempo di shock.
Soluzioni deboli. Una soluzione (forte) per il problema di Cauchy risolve l'identità integrale. Definizione di soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica laddove è $C^1$. La condizione di Rankine-Hugoniot.
Modello per il traffico automobilistico su un'arteria rettilinea. Analisi di due situazioni: coda che si allunga col passare del tempo (soluzione con onda di shock); ``verde al semaforo'', costruzione dell'onda di rarefazione.

7. Equazione delle onde.

Costruzione dell'equazione delle onde come modello per descrivere le piccole vibrazioni trasversali di una corda perfettamente flessibile. Condizioni iniziali e al contorno.
Equazione monodimensionale. Il problema di Cauchy globale: la formula di d'Alambert. Commenti alla formula, domini di influenza e di dipendenza.
Il problema di Cauchy-Dirichlet: soluzione con il metodo di separazione delle variabili. Costruzione della soluzione tramite la formula di d'Alambert. Legame tra i due metodi.
Equazione delle onde in dimensione 3. Costruzione della soluzione con il metodo delle armoniche sferiche, equazione di Eulero-Poisson-Darboux e formula di Kirchhoff. Domini di dipendenza e di influenza. Equazione delle onde in dimensione 2: formula di Poisson con metodo della discesa di Hadamard.

N.B. NELLA SEZIONE MATERIALE DIDATTICO SI TROVA L'ELENCO DEI TEOREMI CON DIMOSTRAZIONE RICHIESTA PER L'ESAME.