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Calcolo delle Probabilità e Statistica (DM 270) - a.a. 2013/14

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Probability and Statistics

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Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica
MFN0341
Docenti
Prof. Roberta Sirovich (Titolare del corso)
Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
Dott. Federico Polito (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Per gli appelli consultare il campo 'Note' della pagina del Corso
Prerequisiti
Buona conoscenza dei contenuti dei corsi di analisi previsti nel piano didattico fino al secondo anno.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna teoria del calcolo delle probabilità e della statistica matematica, attraverso una rigorosa definizione dei termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi principali, per alcuni dei quali con dimostrazioni complete e per altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza delle definizioni precise di spazi di probabilità, delle regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza Chiara nozione di variabile aleatoria, distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici). Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte. Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper discutere la Legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le principali regole del calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un’interpretazione dell'enunciato e la selezione o l'adattamento di modelli noti. Saper costruire stimatori, intervalli di confidenza e test di ipotesi. Capacità di affrontare teoricamente problemi statistici riconoscendo i mezzi più idonei per lo studio teorico e pratico del problema.

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Programma

 

Prime definizioni di probabilità: legge empirica del caso, definizione classica e definizione soggettiva. Costruzione assiomatica dello spazio di probabilità: eventi, sigma-algebre, la probabilità, prime regole di calcolo e continuità della misura di probabilità. Indipendenza e condizionamento: formula delle probabilità totali e teorema di Bayes. Lemma di Borel-Cantelli. Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e sue proprietà. Variabili discrete e variabili continue (Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Binomiale Negativa, Ipergeometrica, Normale, Uniforme, Cauchy, Esponenziale, Gamma, Chi-Quadro, t di Student,...). Variabili aleatorie multidimensionali, indipendenza tra variabili aleatorie. Momenti. Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica. Disuguaglianze notevoli: Markov e Chebyshev. Teoremi asintotici: convergenza in legge, convergenza in probabilità, convergenza quasi certa, limite normale della distribuzione binomiale, legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale.

Introduzione alla Statistica: il campionamento casuale con rimpiazzo. Costruzione dello spazio campionario e definizione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e Varianza dei momenti campionari. Caso particolare della media campionaria. Legame tra la media campionaria e la media della popolazione. Varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti campionari. Stima puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema di Cramér-Rao. Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di fattorizzazione. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi composte e rapporto generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali: analisi della varianza, regressione. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e caso scorrelato. Teorema di Gauss-Markov.

Probability spaces, elementary examples, first rules of computation, conditioning and independence. Conditional probability. Continuity of probability measures and the Borel-Cantelli theorem. Introduction  to random variables. Discrete random variables. Distribution and density. Expected value, variance, moments, gene rating function. Classical distributions and densities (binomial, hypergeometric, geometric, negative binomial, Poisson, multinomial). Decomposition in elementary variables and conditioning. Markov’s and Chebychev’s inequalities.  First introduction to the central limit theorem: frequency and probability. Fist notions on general random variables and on integrations with a probability measure. Independent variables. Conditioning, continuous random variables. Joint density and marginals. Classical continuous distributions (uniform, Cauchy, exponential and Poisson processes, normal, gamma, chi-square, Student). Weak law of large numbers: Markov’s theorem. Some notices on Kolmogorov result on strong law. Characteristic functions. Discussion of the Lévy-Cramér theorem. Derivation of one of the simplest central limit theorem from Lèvy-Cramér result.

Introduction to Statistics: random sampling with replacement. Construction of the sampling space and definition of the random sample from a population. Statistics and sample moments. Mean and variance of the sample moments. Sample mean and sample variance. Distribution of the sample moments. Point estimation, definition of an estimator. Moments and maximum likelihood methods. Properties of the estimators: unbiasedness, mean square error. Linear estimator and linear estimator  with minimum variance. UMVU estimators. Cramer-Rao Theorem. Asymptotic properties of the estimators: asymptotic unbiasedness, consistency.  Sufficient estimators. Factorization theorem. Interval estimation: definition of confidence interval. Pivotal quantity method. Hypothesis testing: definition of statistical hypothesis, critical region, first and second kind errors, power and level of significance of the test. Neyman-Pearson Lemma. Composite hypothesis and genralized likelihood ratio. General linear model: analysis of variance, regression. Estimation in the general linear models: Gaussian and uncorrelated cases. Gauss-Markov theorem.

 

 

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Testi consigliati e bibliografia

A. Buonocore, A. Di Crescenzo, L.M. Ricciardi "Appunti di Probabilità", Liguori Editore, 2011.

P. Baldi "Calcolo delle Probabilità", 2/ed, McGraw-Hill, 2011.

G. Casella, R. L. Berger "Statistical Inference", Duxbury Press, 2001.

D. Piccolo "Statistica", Il Mulino, 2010. 

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Note

CALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA, MFN0341 (DM 270) , 12 CFU: 12 CFU, MAT/06, TAF B (caratt.), Ambito formazione modellistico-applicativa.

Modalità di verifica/esame: Scritto e Orale.

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Ultimo aggiornamento: 26/03/2015 12:47

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