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Calcolo delle Probabilità e Statistica

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Probability and Statistics

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Anno accademico 2021/2022

Codice dell'attività didattica
MFN0341
Docenti
Prof. Federico Polito (Titolare del corso)
Giuseppe D'onofrio (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Ottima conoscenza dell'analisi: calcolo, convergenze, serie, integrali (anche in più dimensioni).


Good knowledge of mathematical anlysis: calculus, convergence, series, integrals (general dimension).
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna teoria del Calcolo delle Probabilità e della Statistica Matematica attraverso una rigorosa definizione dei termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi, alcuni dei quali con dimostrazioni complete, altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L'allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso e di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d'esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.

In accordance with the educational goals of the Degree program expected by the SUA-CdS file, the course is aimed at giving the students a good understanding of the basic elements of Probability Theory and Mathematical Statistics through rigorous definitions, theorems and proofs. The student will be able to describe, link and compare the main statements and results given and to show the theorems considered.  He will solve problems relating the theoretical expertise with the selection and building of models following the guidelines given in the practice lessons.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza. Chiara nozione di variabile aleatoria, distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici). Capacità di utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte. Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper discutere la legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di convergenza. Saper discutere e presentare le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le principali regole del calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un'interpretazione dell'enunciato e la selezione o l'adattamento di modelli noti. Saper costruire stimatori, intervalli di confidenza e test di ipotesi. Capacità ad affrontare teoricamente problemi statistici riconoscendo i mezzi più idonei per lo studio teorico e pratico del problema.

Definition of probability space, elementary probability rules, conditioning and independence. Clear knowledge of random variables, distribution function and densityand of their role and features (mean, variance, moments, generating functions). Practical usage of joint distributions. Knowledge of classical schemes and distributions in discrete and continuous setting. Ability to discuss the weak law of large numbers. Knowledge of results related to convergence. Ability to discuss and present central limit type theorems with proofs. Capability to solve problems requiring interpretation of the statement and selection and application of known models. Construction of estimators, confidence intervals and tests. Ability to cope with statistical problems by means of appropriate theoretical and practical techniques.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento prevede lezioni teoriche (56 ore - 7 CFU), esercitazioni (40 ore - 5 CFU) e tutoraggi. Per l'anno accademico 2021/2022 le lezioni e le esercitazioni saranno tenute in presenza con streaming sincrono ma senza registrazione. Materiale di supporto sarà reso disponibile su Moodle.

Alcune attività aggiuntive tese a favorire l'interazione fra i docenti e gli studenti potranno essere organizzate nella forma di incontri online e/o in presenza, seguendo le opportune norme di distanziamento sociale e in accordo con possibili regolamentazioni future. Con riferimento alle attività in presenza, gli studenti che non potranno partecipare fisicamente avranno la possibilità di fruire di queste tramite il materiale online reso disponibile.

Link Webex per lo streaming online: https://unito.webex.com/meet/federico.polito

The course includes theoretical lessons (56 hours - 7 CFU), exercises (40 hours - 5 CFU) and tutoring. For the AY 2021/2022, the theoretical lessons and exercises will be held in presence with synchronous online streaming. The classes, however, will not be recorded. Supporting material will be made available on Moodle in due time.

Some additional activities to favour direct interaction between professors and students may be organised as online meetings and/or meetings in presence, under appropriate conditions of social distancing and compatibly and in compliance with future existing regulations. For meetings in presence, students who are not able to be physically present will have the chance to follow such activities through the online course materials.

Webex streaming: https://unito.webex.com/meet/federico.polito

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta con voto. Prova orale con voto finale. L'esito positivo della prova scritta permette l'accesso alla sola prova orale immediatamente successiva. La prova scritta è valutata in 30esimi ed è costituita da esercizi su tutto il programma, compreso un esercizio su argomenti di base il cui superamento è obbligatorio. La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esercizi presentati nel corso. Il voto finale tiene conto sia della prova scritta sia di quella orale.

Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese.

Durante l'eventuale periodo relativo all'allerta Covid-19 gli esami si terranno in modalità telematica. L'esame potrà essere sostenuto tramite l'istanza di Moodle dedicata agli esami telematici (con videosorveglianza tramite Webex). La prova verterà su tutto il programma e consisterà di domande relative alla parte orale (del tipo a risposta multipla e risposta libera con caricamento di foto o pdf dello svolgimento) e nella risoluzione di esercizi (con risposta diretta o caricamento di foto o pdf dello svolgimento).

 

Written examination followed by oral examination. Only a positive result of the written examination allows the access to the corresponding oral examination. The written examination is composed by one mandatory exercise on fundamental results and further exercises on the whole program. The oral examination consists of questions related to theory, proofs and exercises presented during the course. The final mark is based both on the written and on the oral examination.

Foreign students are allowed to take the exams in English.

During the Covid-19 emergency the learning assessment method will be taken through the Moodle system of the programme (with video surveillance on Webex). The exam will consist in questions on the theoretical part and in solving exercises.

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Programma

Prime definizioni di probabilità: legge empirica del caso, definizione classica e definizione soggettiva. Costruzione assiomatica dello spazio di probabilità: eventi, sigma-algebre, la probabilità, prime regole di calcolo e continuità della misura di probabilità. Indipendenza e condizionamento: formula delle probabilità totali e teorema di Bayes. Lemma di Borel-Cantelli. Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e sue proprietà. Variabili discrete e variabili continue (Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Binomiale Negativa, Ipergeometrica, Normale, Uniforme, Cauchy, Esponenziale, Gamma, Chi-Quadro, t di Student,...). Variabili aleatorie multidimensionali, indipendenza tra variabili aleatorie. Momenti. Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica. Disuguaglianze notevoli: Markov e Chebyshev. Teoremi asintotici: convergenza in legge, convergenza in probabilità, convergenza quasi certa, limite normale della distribuzione binomiale, legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale. Condizionamento
nel continuo.

Introduzione alla Statistica: il campionamento casuale con rimpiazzo. Costruzione dello spazio campionario e definizione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e Varianza dei momenti campionari. Caso particolare della media campionaria. Legame tra la media campionaria e la media della popolazione. Varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti campionari. Stima puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema di Cramér-Rao. Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di fattorizzazione e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi composte e rapporto generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali: analisi della varianza, regressione. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e caso scorrelato. Teorema di Gauss-Markov.

Definition of Probability: frequencies, classical definition and subjective definition. Axiomatic definition of probability space: events, sigma-algebra, probability, first computation rules and continuity of the probability measure. Indipendence and conditioning: total probability and Bayes theorem. Borel-Cantelli lemma. Random
variables: distribution function and its properties. Continuous and discrete random variables (Bernoulli, Binomial, Geometric, Negative Binomial, Hypergeometric, Normal, Uniform, Cauchy, Exponential, Gamma, Chi-Square, Student's t,...). Multidimensional random variables, independence. Moments. Moment generating function and characteristic function. Inequalities: Markov and Chebyshev. Asymptotics: convergence in law, convergence in probability, almost sure convergence, normal limit of the binomial distribution, law of large numbers, central limit theorem. Conditioning in the continuous case.

Introduction to Statistics: random sampling with replacement. Construction of the sampling space and definition of the random sample from a population. Statistics and sample moments. Mean and variance of the sample moments. Sample mean and sample variance. Distribution of the sample moments. Point estimation, definition of an estimator. Moments and maximum likelihood methods. Properties of the estimators: unbiasedness, mean square error. UMVU estimators. Cramer-Rao Theorem. Asymptotic properties of the estimators: asymptotic unbiasedness, consistency.  Sufficient estimators. Factorization theorem and Blackwell-Rao Theorem. Interval estimation: definition of confidence interval. Pivotal quantity method. Hypothesis testing: definition of statistical hypothesis, critical region, first and second kind errors, power and level of significance of the test. Neyman-Pearson Lemma. Composite hypothesis and generalized likelihood ratio. General linear model: analysis of variance, regression. Estimation in the general linear models: Gaussian and uncorrelated cases. Gauss-Markov theorem.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Altri testi e consigli bibliografici

 

Altro materiale verrà reso disponibile tramite la pagina Moodle dell'insegnamento.

- P. Baldi "Calcolo delle Probabilità", McGraw-Hill, 2011.

- G. Grimmett, D. Stirzaker "Probability and Random Processes", Third Edition, Oxford Un. Press, 2001.

- G. Grimmett, D. Stirzaker "One Thousand Exercises in Probability", Oxford Un. Press, 2001.

- G. Casella, R.L. Berger "Statistical Inference", Duxbury Press, 2001.

- G. Casella, R.L. Berger, D. Santana "Solutions Manual for Statistical Inference", Second Edition,  2001.

- P. Billingsley "Probability and Measure", Wiley, 1995.

Further textbooks

 

Further material will be made available through the course's Moodle webpage.

- P. Baldi "Calcolo delle Probabilità", McGraw-Hill, 2011.

- G. Grimmett, D. Stirzaker "Probability and Random Processes", Third Edition, Oxford Un. Press, 2001.

- G. Grimmett, D. Stirzaker "One Thousand Exercises in Probability", Oxford Un. Press, 2001.

- G. Casella, R.L. Berger "Statistical Inference", Duxbury Press, 2001.

- G. Casella, R.L. Berger, D. Santana "Solutions Manual for Statistical Inference", Second Edition,  2001.

- P. Billingsley "Probability and Measure", Wiley, 1995.



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 07/02/2022 08:52

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