- Oggetto:
- Oggetto:
Analisi Matematica 3 (DM 270) - a.a. 2011/12
- Oggetto:
Anno accademico 2011/2012
- Codice dell'attività didattica
- MFN0336
- Docenti
- Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Vivina Laura Barutello (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 - TAF B
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso presenta i fondamenti della teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e un'introduzione all'Analisi complessa (funzioni di una variabile complessa). Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i teoremi fondamentali sul problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria, sulle serie di potenze in campo complesso e sulle funzioni olomorfe. Inoltre, saprà studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un’equazione differenziale, calcolare integrali con il metodo dei residui, studiare la convergenza di serie di funzioni in campo complesso, risolvere esercizi di applicazione della teoria ed interpretare criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale. Saper calcolare un integrale con il metodo dei residui. Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni in campo complesso, usando le serie di potenze.
- Oggetto:
Programma
1. Indice generale degli argomenti
(a) Spazi metrici e Teorema delle contrazioni.
- Norme equivalenti in RN.
- Lo spazio delle funzioni continue su un intervallo compatto.
- Teorema delle contrazioni.
(b) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.
- Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
- Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale.
- Lemma di Gronwall. Dipendenza continua della soluzione dai dati. Equazione alle variazioni.
(c) Funzioni di una variabile complessa.
- Funzioni trascendenti elementari in campo complesso. Serie di potenze. Funzioni olomorfe e condizioni di Cauchy-Riemann.
- Integrazione di funzioni complesse lungo curve. Indice di avvolgimento. Teorema di Cauchy e sue applicazioni. Formula integrale di Cauchy e teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe.
- Teorema dei residui, singolarità e serie di Laurent.
3. Programma dettagliato (suddiviso per settimane)
Settimana 1: spazi metrici e completezza.
-
Spazi metrici e spazi normati: definizioni ed esempi. In particolare: norme in RN e in C([a,b],R).
- Norme equivalenti. Equivalenza delle norme in dimensione finita; equivalenza e non equivalenza delle norme in C([a,b],R).
- Successioni convergenti e successioni di Cauchy in spazi metri. Spazi metrici completi. Completezza di C([a,b],R) rispetto alla norma del sup, non completezza rispetto alla norma integrale.
Libro di testo: [PS] cap. 3.1.1, cap. 3.1.7 (prodotto scalare escluso).
Settimana 2: esistenza e unicità locali per il problema di Cauchy.
- Teorema di Banach-Caccioppoli (o delle contrazioni).
- Equazioni differenziali ordinarie: esempi, definizioni e terminologia. Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente.
- Il Pennello di Peano. Funzioni lipschitziane. Teorema di esistenza ed unicità locali. Osservazioni varie (migliorare il risultato ottenuto, successione delle Iterate di Picard).
Libro di testo: [PS] cap. 3.1.6, cap. 4.1.1, cap. 4.1.2, cap. 4.1.3 .
Settimana 3: il problema della prolungabilità delle soluzioni per il Problema di Cauchy.
- Regolarità delle soluzioni.
- Prolungamento di una soluzione; intervallo massimale di definizione. Esempi.
- Teorema di esistenza ed unicità globali. Condizioni che implicano la sottolinearità. I sistemi lineari.
Libro di testo: [PS] cap. 4.1.3, cap. 4.1.4 (sulla costruzione del prolungamento e sulla sua unicità [BCFTV] cap. 8.3).
Settimana 4: esercitazioni.
Libro di testo: [SaSq] cap. 2 .
Settimana 5: il problema della dipendenza della soluzione di un Problema di Cauchy dal dato iniziale.
- Lemma di Gronwall.
- Teorema di dipendenza continua dai dati.
- Equazione alle variazioni e Teorema di dipendenza derivabile dai dati.
Libro di testo: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
Settimana 6: Preliminari all'analisi complessa.
- Richiami sui numeri complessi e piano di Argand-Gauss.
- Funzioni olomorfe: definizione ed esempi elementari.
- Equazioni di Cauchy-Riemann. La funzione logaritmo in campo complesso.
Libro di testo: [StSh] Cap. 1, oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
Settimana 7: Serie di potenze (I parte).
- La funzione esponenziale e le altre funzioni trascendenti elementari.
- Serie di potenze in campo complesso: proprietà di convergenza.
- Liminf e limsup di successioni reali.
Libro di testo: [StSh] Cap. 1, oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
Settimana 8: Serie di potenze (II parte).
- Formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze.
- Comportamento di una serie di potenze sul bordo del disco di convergenza.
- Le serie di potenze definiscono funzioni olomorfe.
- Esercizi sulle serie di potenze.
Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
Settimana 9: Integrazione lungo curve in campo complesso e teorema dell'indice.
- Esercizi sulle serie di potenze. Formula di Stirling sul fattoriale.
- Definizione e proprietà fondamentali dell'integrale curvilineo di funzioni complesse.
- Primitive.
- Teorema dell'indice.
Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
Settimana 10: Teorema di Cauchy e sue applicazioni
- Lemma di Goursat.
- Una funzione olomorfa su un aperto stellato ammette una primitiva.
- Teorema di Cauchy.
- Applicazione: calcolo degli integrali di Fresnel.
- Formula integrale di Cauchy (caso della circonferenza).
- Sviluppabilità in serie di potenze di una classe di funzioni integrali.
Libro di testo: [StSh], oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
Settimana 11(*): Formule integrali di Cauchy e conseguenze notevoli. Poli e teorema dei residui.
- Le funzioni olomorfe sono sviluppabili in serie di potenze. Formule integrali per le derivate.
- Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio di continuazione analitica.
- Teorema di Morera e sue conseguenze (il limite uniforme di funzioni olomorfe è una funzione olomorfa; una funzione continua su un aperto e olomorfa sull'aperto meno un punto è olomorfa su tutto l'aperto).
- Formula integrale di Cauchy (caso di una curva qualsiasi).
- Zeri. Poli. Parte singolare di una funzione in un polo. Residuo di una funzione in un polo.
- Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali.
Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
(*) In questa settimana sono previste tre lezioni.
Settimana 12(*): Singolarità e serie di Laurent.
- Esercizi di calcolo di integrali con il metodo dei residui.
- Singolarità eliminabili (teorema di Riemann). Singolarità essenziali (teorema di Picard).
- Serie di Laurent. Sviluppo di Laurent intorno ad una singolarità isolata. Classificazione delle singolarità rispetto allo sviluppo di Laurent.
- Esercizi su classificazione di singolarità; determinazione dell'anello di convergenza di serie di Laurent; sviluppi in serie di Laurent.
Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".
(*) In questa settimana sono previste tre lezioni.
(a) Metric spaces and the contraction mapping Theorem.
(b) Ordinary differential equations: qualitative theory.
- Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon.
- Extension of solutions. Global existence. Gronwall lemma.
- Continuous dependence from data. Variation equation.
(c) Functions of a complex variable.
- Power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
- Cauchy-Riemann equations. Analytic functions. Analiticity of power series. Analytic prolongation principle. Zeros of analytic functions. Meromorphic functions and their poles.
- Index of a path w.r.t. a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Analiticity of holomorphic functions. Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Laurent series. Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.
