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Oggetto:
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Analisi Matematica 3 (DM 270) - a.a. 2011/12

Oggetto:

Anno accademico 2011/2012

Codice dell'attività didattica
MFN0336
Docenti
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Vivina Laura Barutello (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF B
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso presenta i fondamenti della teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e un'introduzione all'Analisi complessa (funzioni di una variabile complessa). Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i teoremi fondamentali sul problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria, sulle serie di potenze in campo complesso e sulle funzioni olomorfe. Inoltre, saprà studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un’equazione differenziale, calcolare integrali con il metodo dei residui, studiare la convergenza di serie di funzioni in campo complesso, risolvere esercizi di applicazione della teoria ed interpretare criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale. Saper calcolare un integrale con il metodo dei residui. Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni in campo complesso, usando le serie di potenze.

Oggetto:

Programma

 

1. Indice generale degli argomenti 

 

(a) Spazi metrici e Teorema delle contrazioni.

  • Norme equivalenti in RN
  • Lo spazio delle funzioni continue su un intervallo compatto.
  • Teorema delle contrazioni.

(b) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.

  • Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
  • Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. 
  • Lemma di Gronwall. Dipendenza continua della soluzione dai dati. Equazione alle variazioni.

(c) Funzioni di una variabile complessa.

  • Funzioni trascendenti elementari in campo complesso. Serie di potenze. Funzioni olomorfe e condizioni di Cauchy-Riemann. 
  • Integrazione di funzioni complesse lungo curve. Indice di avvolgimento. Teorema di Cauchy e sue applicazioni. Formula integrale di Cauchy e teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe.
  • Teorema dei residui, singolarità e serie di Laurent. 
2. Programma dettagliato con elenco delle dimostrazioni da sapere all'esame

3. Programma dettagliato (suddiviso per settimane)

 Settimana 1: spazi metrici e completezza.

  • Spazi metrici e spazi normati: definizioni ed esempi. In particolare: norme in RN e in C([a,b],R).

  • Norme equivalenti. Equivalenza delle norme in dimensione finita;  equivalenza e non equivalenza delle norme in C([a,b],R).
  • Successioni convergenti e successioni di Cauchy in spazi metri. Spazi metrici completi. Completezza di C([a,b],R) rispetto alla norma del sup, non completezza rispetto alla norma integrale.

      Libro di testo:  [PS] cap. 3.1.1, cap. 3.1.7 (prodotto scalare escluso). 

Settimana 2: esistenza e unicità locali per il problema di Cauchy.

  • Teorema di Banach-Caccioppoli (o delle contrazioni).
  • Equazioni differenziali ordinarie: esempi, definizioni e terminologia. Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente.
  • Il Pennello di Peano. Funzioni lipschitziane. Teorema di esistenza ed unicità locali. Osservazioni varie (migliorare il risultato ottenuto, successione delle Iterate di Picard).

      Libro di testo: [PS] cap. 3.1.6, cap. 4.1.1, cap. 4.1.2, cap. 4.1.3 .

Settimana 3: il problema della prolungabilità delle soluzioni per il Problema di Cauchy.

  • Regolarità delle soluzioni.
  • Prolungamento di una soluzione; intervallo massimale di definizione. Esempi.
  • Teorema di esistenza ed unicità globali. Condizioni che implicano la sottolinearità. I sistemi lineari.

      Libro di testo: [PS] cap. 4.1.3, cap. 4.1.4 (sulla costruzione del prolungamento e sulla sua unicità [BCFTV] cap. 8.3).

Settimana 4: esercitazioni.

      Libro di testo: [SaSq] cap. 2 .

Settimana 5: il problema della dipendenza della soluzione di un Problema di Cauchy dal dato iniziale.

  • Lemma di Gronwall.
  • Teorema di dipendenza continua dai dati.
  • Equazione alle variazioni e Teorema di dipendenza derivabile dai dati.

      Libro di testo: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Settimana 6: Preliminari all'analisi complessa.

  • Richiami sui numeri complessi e piano di Argand-Gauss.
  • Funzioni olomorfe: definizione ed esempi elementari.
  • Equazioni di Cauchy-Riemann. La funzione logaritmo in campo complesso.

      Libro di testo: [StSh] Cap. 1, oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Settimana 7: Serie di potenze (I parte).

  • La funzione esponenziale e le altre funzioni trascendenti elementari.
  • Serie di potenze in campo complesso: proprietà di convergenza.
  • Liminf e limsup di successioni reali.

      Libro di testo: [StSh] Cap. 1, oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Settimana 8: Serie di potenze (II parte).

  • Formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze.
  • Comportamento di una serie di potenze sul bordo del disco di convergenza.
  • Le serie di potenze definiscono funzioni olomorfe.
  • Esercizi sulle serie di potenze.

      Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Settimana 9: Integrazione lungo curve in campo complesso e teorema dell'indice.

  • Esercizi sulle serie di potenze. Formula di Stirling sul fattoriale.
  • Definizione e proprietà fondamentali dell'integrale curvilineo di funzioni complesse.
  • Primitive.
  • Teorema dell'indice.

      Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Settimana 10: Teorema di Cauchy e sue applicazioni

  • Lemma di Goursat.
  • Una funzione olomorfa su un aperto stellato ammette una primitiva.
  • Teorema di Cauchy.
  • Applicazione: calcolo degli integrali di Fresnel.
  • Formula integrale di Cauchy (caso della circonferenza).
  • Sviluppabilità in serie di potenze di una classe di funzioni integrali.

      Libro di testo: [StSh], oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Settimana 11(*): Formule integrali di Cauchy e conseguenze notevoli. Poli e teorema dei residui.

  • Le funzioni olomorfe sono sviluppabili in serie di potenze. Formule integrali per le derivate.
  • Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio di continuazione analitica.
  • Teorema di Morera e sue conseguenze (il limite uniforme di funzioni olomorfe è una funzione olomorfa; una funzione continua su un aperto e olomorfa sull'aperto meno un punto è olomorfa su tutto l'aperto).
  • Formula integrale di Cauchy (caso di una curva qualsiasi).
  • Zeri. Poli. Parte singolare di una funzione in un polo. Residuo di una funzione in un polo.
  • Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali.

      Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

(*) In questa settimana sono previste tre lezioni.

Settimana 12(*): Singolarità e serie di Laurent.

  • Esercizi di calcolo di integrali con il metodo dei residui.
  • Singolarità eliminabili (teorema di Riemann). Singolarità essenziali (teorema di Picard).
  • Serie di Laurent. Sviluppo di Laurent intorno ad una singolarità isolata. Classificazione delle singolarità rispetto allo sviluppo di Laurent.
  • Esercizi su classificazione di singolarità; determinazione dell'anello di convergenza di serie di Laurent; sviluppi in serie di Laurent.

      Libro di testo: [StSh], [Sp] oppure: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".

(*) In questa settimana sono previste tre lezioni.

 

 

(a) Metric spaces and the contraction mapping Theorem.

(b) Ordinary differential equations: qualitative theory.

  • Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon.
  • Extension of solutions. Global existence. Gronwall lemma. 
  • Continuous dependence from data. Variation equation. 

(c) Functions of a complex variable.

  • Power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
  • Cauchy-Riemann equations. Analytic functions. Analiticity of power series. Analytic prolongation principle. Zeros of analytic functions. Meromorphic functions and their poles. 
  • Index of a path w.r.t. a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Analiticity of holomorphic functions. Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Laurent series. Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

[PS] C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.

[BCFTV] V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.

[SaSq] S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte terza, Zanichelli.

[Sp] M. Spiegel, Variabili Complesse, Collana Schaum, McGraw-Hill.

[StSh] E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.

Appunti del docente, reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Schede di esercizi risolti ed esercizi proposti, reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Biografia di Augustin Louis Cauchy



Oggetto:

Note

ANALISI MATEMATICA 3, MFN0336 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

Modalità di verifica/esame: Prova scritta seguita da una prova orale.

Per gli studenti che hanno seguito il corso gli anni scorsi e devono sostenere l'esame: il programma di quest'anno è praticamente identico a quello degli anni scorsi. Cambia solo il testo di riferimento per la parte di programma "Funzioni di una variabile complessa", ma i contenuti sono gli stessi. Anche le modalità d'esame e la tipologia di esercizi dello scritto sono uguali. Chi ha già seguito il corso e all'orale desidera essere esaminato su un programma vecchio può farlo, ma deve dichiararlo all'inizio dell'orale avendo con sé una copia del programma dettagliato del corso da lui o da lei seguito.


Regole per l’esame di Analisi matematica 3 - A.A. 2011/2012

Norme generali
Nell’anno accademico in corso sono previsti cinque appelli d’esame, ripartiti in tre sessioni. L’esame consiste di una prova scritta e una orale. Date, orari e luoghi di svolgimento delle prove sono indicati sulla pagina campusnet del corso. L’orale può essere svolto previo superamento dello scritto.

Modalità di iscrizione
L’iscrizione alla prova scritta va effettuata per via elettronica sulla pagina campusnet del corso. Quanti superano lo scritto sono automaticamente iscritti agli appelli orali successivi, della stessa sessione dello scritto. Gli studenti ammessi all’orale che intendono sostenere l’esame devono presentarsi all’inizio dell’orale. In quel momento verrà fatto l’appello e verrà definito il calendario di svolgimento degli orali.

Validità dello scritto
Nella sessione ad appello unico, lo scritto, se superato, vale solo per l’orale dello stesso appello. Nelle sessioni a doppio appello lo scritto superato al primo appello viene considerato valido per entrambe le prove orali della stessa sessione a meno che lo studente superi il primo orale ma rifiuti il voto. In questo caso dovrà rifare lo
scritto. Se invece sostiene il primo orale ma con esito negativo, lo scritto gli viene tenuto valido anche per il secondo orale. Se in una sessione a doppio appello uno studente supera il primo scritto e non sostiene l’orale dello stesso appello oppure lo sostiene con esito negativo, pur mantenendo valido lo scritto per il secondo orale, può svolgere anche il secondo scritto ma in tal caso, a meno che non si ritiri, invalida automaticamente il primo scritto.

Norme di svolgimento dello scritto
Durante la prova scritta non è possibile utilizzare calcolatrici o altro, né consultare testi o appunti eccezion fatta per un foglio A4 su cui lo studente si sia preliminarmente appuntato qualsiasi informazione utile (formule, teoremi, tabelle, etc.). Di norma, durante lo svolgimento dello scritto, non è possibile uscire dall’aula fino al termine della prova o alla consegna definitiva dell’elaborato. Il testo dello scritto va sempre consegnato, anche in caso di ritiro. L’eventuale ritiro va dichiarato esplicitamente e personalmente al docente presente in aula. Gli elaborati degli studenti che si ritirano dalla prova non vengono corretti. Gli studenti che superano lo scritto ne prendono visione nel momento in cui sostengono l’orale. Gli studenti che non superano lo scritto e intendono prenderne visione, possono farlo in occasione dell’orale dello stesso appello.

Norme di svolgimento dell’orale
L’orale consiste in una breve discussione della prova scritta, nell’esposizione di teoremi o nella presentazione di argomenti del programma.

Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 09:47

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