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Oggetto:
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Analisi Matematica 3 (DM 270) - a.a. 2012/13

Oggetto:

Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN0336
Docenti
Prof. Vivina Laura Barutello (Titolare del corso)
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF B
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso presenta i fondamenti della teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie e un'introduzione all'Analisi complessa (funzioni di una variabile complessa). Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i teoremi fondamentali sul problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria, sulle serie di potenze in campo complesso e sulle funzioni olomorfe. Inoltre, saprà studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un’equazione differenziale, calcolare integrali con il metodo dei residui, studiare la convergenza di serie di funzioni in campo complesso, risolvere esercizi di applicazione della teoria ed interpretare criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

  • Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale.
  • Saper calcolare un integrale con il metodo dei residui.
  • Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni in campo complesso, usando le serie di potenze.
Oggetto:

Attività di supporto

E' prevista un'attività di tutorato, a partire dalla seconda settimana di corso, il venerdì mattina dalle 11 alle 13 in Aula S.

Oggetto:

Programma

1. Indice generale degli argomenti 

 

(a) Spazi metrici e Teorema delle contrazioni.

  • Norme equivalenti in RN
  • Lo spazio delle funzioni continue su un intervallo compatto.
  • Teorema delle contrazioni.

(b) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.

  • Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
  • Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. 
  • Lemma di Gronwall. Dipendenza continua della soluzione dai dati. Equazione alle variazioni.

(c) Funzioni di una variabile complessa.

  • Funzioni trascendenti elementari in campo complesso. Serie di potenze. Funzioni olomorfe e condizioni di Cauchy-Riemann. 
  • Integrazione di funzioni complesse lungo curve. Indice di avvolgimento. Teorema di Cauchy e sue applicazioni. Formula integrale di Cauchy e teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe.
  • Teorema dei residui, singolarità e serie di Laurent. 

2. Programma dettagliato con elenco delle dimostrazioni da sapere all'esame

3. Programma dettagliato 

PRIMA PARTE: SPAZI METRICI, TEORIA QUALITATIVA DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 

Settimana 1: spazi metrici e completezza.

  • Spazi metrici e spazi normati: definizioni ed esempi. In particolare: norme in RN e in C([a,b],R).

  • Norme equivalenti. Equivalenza delle norme in dimensione finita;  equivalenza e non equivalenza delle norme in C([a,b],R).
  • Successioni convergenti e successioni di Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici completi. Completezza di C([a,b],R) rispetto alla norma del sup, non completezza rispetto alla norma integrale.
  • Teorema di Banach-Caccioppoli (o delle contrazioni).

      Libro di testo:  [PS] cap. 3.1.1, cap. 3.1.6, cap. 3.1.7 (prodotto scalare escluso).

Settimana 2: esistenza e unicità locali per il problema di Cauchy.

  • Equazioni differenziali ordinarie: esempi, definizioni e terminologia.
  • Regolarità delle soluzioni.
  • Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente.
  • Il Pennello di Peano. 
  • Funzioni lipschitziane. Teorema di esistenza ed unicità locali. Osservazioni varie (come migliorare il risultato ottenuto, successione delle Iterate di Picard). 

      Libro di testo: cap. 4.1.1, cap. 4.1.2, cap. 4.1.3 .

Settimana 3 (2 ore): il problema della prolungabilità delle soluzioni per il Problema di Cauchy.

  • Prolungamento di una soluzione; intervallo massimale di definizione. Esempi.
  • Teorema di esistenza ed unicità globali. Condizioni che implicano la sottolinearità. I sistemi lineari.

      Libro di testo: [PS] cap. 4.1.3, cap. 4.1.4 (sulla costruzione del prolungamento e sulla sua unicità [BCFTV] cap. 8.3).

Settimana 4/5 (6 ore): esercitazioni.

      Libro di testo: [SaSq] cap. 2 .

Settimana 5/6 (4 ore): il problema della dipendenza della soluzione di un Problema di Cauchy dal dato iniziale.

  • Lemma di Gronwall.
  • Teorema di dipendenza continua dai dati.
  • Equazione alle variazioni e Teorema di dipendenza derivabile dai dati.

      Libro di testo: appunti del docente reperibili nella sezione "Materiale didattico".


SECONDA PARTE: ANALISI COMPLESSA

Testi di riferimento:

  • Appunti del docente, reperibili nella sezione "Materiale didattico".
  • Schede di esercizi risolti ed esercizi proposti, reperibili nella sezione "Materiale didattico".
  • E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
  • M. Spiegel, Variabili Complesse, Collana Schaum, McGraw-Hill.

23/11/2012

Richiami sul campo complesso. Funzioni olomorfe: definizione, proprietà elementari ed esempi.

27/11/2012

Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni logaritmo ed esponenziale (prima parte).

30/11/2012

Funzione esponenziale ed altre funzioni trascendenti in campo complesso. Il logaritmo come funzione a più valori. Serie di potenze (introduzione). Teorema di Abel sul raggio di convergenza.

07/12/2012

Limite inferiore e superiore. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza. Formula del rapporto. Comportamento di una serie di potenze sul bordo del disco di convergenza.

11/12/2012

Esercizi sulle serie di potenze. Convergenza uniforme delle serie di potenze.

14/12/2012

Olomorficità delle serie di potenze. Definizione di funzione analitica. Serie bilatere e serie di Laurent. Anello di convergenza e formule per i raggi. Proprietà di convergenza e di olomorficità delle serie di Laurent.

17/12/2012

Esercizi sulle serie di Laurent. Sviluppi di Laurent di funzioni razionali. Curve regolari e regolari a tratti nel piano complesso.

18/12/2012

Integrale di funzioni complesse lungo curve. Primitive. Teorema dell'integrale nullo per funzioni che ammettono primitiva. Primitive delle funzioni potenza. Teorema dell'indice.

08/01/2013

Teorema dell’integrale nullo. Lemma di Goursat. Formula integrale di Cauchy.

11/01/2013

Analiticità di una classe di funzioni integrali. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Teorema dell’estensione olomorfa. Teorema sugli zeri di funzioni olomorfe. Ordine di uno zero.

15/01/2013

Singolarità isolate di funzioni olomorfe. Poli: ordine, residuo, parte singolare. Teorema dei residui. Esercizi.

18/01/2013

Esercizi sul calcolo dei residui. Applicazione del teorema dei residui al calcolo di alcune classi di integrali.

21/01/2013

Esercizi di calcolo di integrali col metodo dei residui. 

22/01/2013

Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di continuazione analitica. Teorema di Riemann sulle singolarità eliminabili. Singolarità isolate e serie di Laurent. Problema di Basilea.

 

(a) Metric spaces and the contraction mapping Theorem.

(b) Ordinary differential equations: qualitative theory.

  • Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon.
  • Extension of solutions. Global existence. Gronwall lemma. 
  • Continuous dependence from data. Variation equation. 

(c) Functions of a complex variable.

  • Power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
  • Cauchy-Riemann equations. Analytic functions. Analiticity of power series. Analytic prolongation principle. Zeros of analytic functions. Meromorphic functions and their poles. 
  • Index of a path with respect to a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Analiticity of holomorphic functions. Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Laurent series. Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

[PS] C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.

[BCFTV] V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.

[SaSq] S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte terza, Zanichelli.

[Sp] M. Spiegel, Variabili Complesse, Collana Schaum, McGraw-Hill.

[StSh] E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.

Appunti del docente, reperibili nella sezione "Materiale didattico".

Schede di esercizi risolti ed esercizi proposti, reperibili nella sezione "Materiale didattico".

 



Oggetto:

Note

ANALISI MATEMATICA 3, MFN0336 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

Modalità di verifica/esame: Prova scritta seguita da una prova orale.

 

Modalità di verifica/esame: Prova scritta seguita da una prova orale.

Per gli studenti che hanno seguito il corso nell'a.a. 2011/2012 o precedenti e devono sostenere l'esameil programma di quest'anno è praticamente identico a quello degli anni scorsi. Anche le modalità d'esame e la tipologia di esercizi dello scritto sono uguali. Chi ha già seguito il corso e all'orale desidera essere esaminato su un programma vecchio può farlo, ma deve dichiararlo all'inizio dell'orale avendo con sé una copia del programma dettagliato del corso da lui o da lei seguito.


Regole per l’esame di Analisi matematica 3 - A.A. 2012/2013

Norme generali 

Nell’anno accademico in corso sono previsti cinque appelli d’esame, ripartiti in tre sessioni. L’esame consiste di una prova scritta e una orale. Date, orari e luoghi di svolgimento delle prove sono indicati sulla pagina web di iscrizione all'esame. L’orale può essere svolto previo superamento dello scritto. 

Modalità di iscrizione 

L’iscrizione alla prova scritta va effettuata per via elettronica secondo le modalità previste. Gli studenti interessati a svolgere l’esame sono pregati di iscriversi sia alla prova scritta sia a quella orale. Gli studenti che, avendo superato lo scritto, intendono sostenere l’esame orale devono presentarsi all’inizio dell’orale. In quel momento verrà fatto l’appello e verrà definito il calendario di svolgimento degli orali. 

Validità dello scritto 

Nella sessione ad appello unico, lo scritto, se superato, vale solo per l’orale dello stesso appello. Nelle sessioni a doppio appello lo scritto superato al primo appello viene considerato valido per entrambe le prove orali della stessa sessione a meno che lo studente superi il primo orale ma rifiuti il voto. In questo caso dovrà rifare lo scritto. Se invece sostiene il primo orale ma con esito negativo, lo scritto gli viene tenuto valido anche per il secondo orale. Se in una sessione a doppio appello uno studente supera il primo scritto e non sostiene l’orale dello stesso appello oppure lo sostiene con esito negativo, pur mantenendo valido lo scritto per il secondo orale, può svolgere anche il secondo scritto ma in tal caso, a meno che non si ritiri, invalida automaticamente il primo scritto. 

Norme di svolgimento dello scritto 

Durante la prova scritta non è possibile utilizzare calcolatrici o altro, né consultare testi o appunti eccezion fatta per un foglio A4 su cui lo studente si sia preliminarmente appuntato qualsiasi informazione utile (formule, teoremi, tabelle, etc.). Di norma, durante lo svolgimento dello scritto, non è possibile uscire dall’aula fino al termine della prova o alla consegna definitiva dell’elaborato. Il testo dello scritto va sempre consegnato, anche in caso di ritiro. L’eventuale ritiro va dichiarato esplicitamente e personalmente al docente presente in aula. Gli elaborati degli studenti che si ritirano dalla prova non vengono corretti. Gli studenti che superano lo scritto ne prendono visione nel momento in cui sostengono l’orale. Gli studenti che non superano lo scritto e intendono prenderne visione, possono farlo solo in occasione dell’orale dello stesso appello. 

Norme di svolgimento dell’orale 

L’orale consiste in una breve discussione della prova scritta, nell’esposizione di teoremi o nella presentazione di argomenti del programma. 


Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 10:22

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