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Analisi Matematica 3

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Mathematical Analysis 3

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Anno accademico 2017/2018

Codice dell'attività didattica
MFN0336
Docenti
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Marino Badiale (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Doppia
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Calcolo differenziale ed integrale in una e più variabili reali, successioni e serie numeriche e di funzioni reali; algebra lineare; geometria analitica; nozioni introduttive su spazi metrici e compattezza.
Differential and integral calculus for functions of one and several variables, sequences and series of real numbers and real functions; linear algebra; analytic geometry; basics on metric spaces and compactness.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento ha lo scopo di presentare alcuni complementi del calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali, alcuni  risultati basici della teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di laurea in Matematica ed in ottemperanza ai descrittori di Dublino, il corso, introducendo nuovi e importanti concetti, accresce la capacità dello studente di riconoscere nuovi problemi in nuovi contesti, di comprenderli individuandone gli aspetti essenziali, ottimizzandone la soluzione e interpretandola nel contesto corretto. La significativa presenza di teoremi, molti dei quali con dimostrazione, accresce la capacità dello studente di sostenere ragionamenti matematici con argomenti rigorosi e non immediatamente collegabili a quelli già conosciuti.

The aim of this course is to show some advanced topics of the calculus for vector valued functions, some main results of the ODE theory, and basics of the Lebesgue measure and integration theory.

Consistently with the formative path of the degree in Mathematics and in compliance with the Dublin descriptors, the course, introducing new and important concepts, enhances the ability of the student to recognize new problems in new contexts, to understand them identifying the essential aspects, optimising the solution and interpreting it in the correct context. The significant presence of theorems, many of them with proof, increases the ability of the student to carry out a mathematical reasoning with rigorous arguments, not immediately connected to those already known.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà essere in grado di:

  • discutere il teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli e riconoscere il suo ruolo negli argomenti successivamente presentati;
  • conoscere ed applicare il teorema della funzione implicita, il teorema di invertibilità locale e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • conoscere i teoremi fondamentali sul problema di Cauchy e discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale;
  • conoscere i teoremi fondamentali della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue;
  • risolvere problemi di passaggio al limite sotto il segno di integrale;
  • studiare integrali dipendenti da parametro;
  • risolvere semplici problemi teorici inerenti la teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
Students should be able to:
  • discuss the Banach Caccioppoli fixed point theorem and recognize its role in the next topics of the program; 
  • know and apply the implicit function theorem, the local inverse function theorem, and the Lagrange multiplier theorem.
  • know the fundamental theorems on the Cauchy problem for ODE and discuss the qualitative properties of a differential equation.
  • know the fundamental theorems of the Lebesgue measure theory.
  • solve problems concerning the limit of integrals.
  • study integrals depending on a parameter.
  • solve simple exercises on the Lebesgue measure theory.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni svolte sia alla lavagna, sia eventualmente con l'utilizzo di tablet, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. Durante le lezioni sono presentati sia argomenti teorici sia esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata. Sono inoltre disponibili sulla piattaforma moodle le videoregistrazioni delle lezioni svolte in anni accademici passati. 

The course consists of 48 hours of lectures held at the blackboard, and possibly with electronic devices. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. During the lectures both theory and exercises are displayed. Attendance is non-obligatory, recommended. The Moodle learning platform contains video of lectures of the course held in past years.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

 L'esame consta di una prova scritta e di un eventuale orale, facoltativo, a scelta dello studente. Lo scritto consiste nello svolgimento di alcuni esercizi sia teorici sia di calcolo, analoghi a quelli presentati a lezione. Durante la prova scritta non si possono utilizzare calcolatrici, computer, etc. e non si possono consultare libri, quaderni, appunti o formulari. La prova scritta viene valutata in trentesimi e se ne può prendere visione solo in occasione della corrispondente prova orale. Il punteggio minimo per superare lo scritto è di 18/30. Se uno studente supera lo scritto, è libero di scegliere se sostenere o meno l'orale. Se decide di non sostenerlo, gli verrà registrato un voto finale dell'esame pari al minimo tra il voto dello scritto e 24/30. Per la registrazione del voto è necessario che lo studente si presenti all'appello orale, anche se non intende sostenerlo. Uno studente che ambisce ad un voto finale superiore deve sostenere la prova orale nello stesso appello dello scritto. Il voto finale terrà comunque conto del voto dello scritto. L'esame è uguale per studenti frequentanti e non. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese.

 The exam consists of a written test and an oral, discretionary for students. The written test consists in solving some exercises, both of theoretical type and of calculus, similar to those presented during the lectures. At the written test, candidates cannot use calculators, computers, or wireless communication devices, books, notes (in any form). The score of the written test is expressed out of 30 and each student can take a look at his/her own paper just during the corresponding oral session. The minumum score in order to pass the written test is 18/30. Who passes the written test can choose if sitting the oral exam or not. If he/she decides to not sit the oral part, the final grade will be the minimum between the score of the written test and 24/30. In order to register the grade, the student must be present to the oral part, even if he/she will not sit it. A student aspiring to a larger final grade has to sit the oral exam. The exam is the same both for attending and non-attending students. Foreign students are allowed to sit the exam in English.

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Attività di supporto

Nella sezione "Materiale didattico" vengono inseriti dei "fogli di esercizi". Gli esercizi proposti in tali schede hanno un ruolo assai importante nello studio degli argomenti del corso. Costituiscono infatti il banco di prova più affidabile per verificare se gli argomenti esposti a lezione sono stati assimilati in maniera sufficientemente profonda da riuscire a risolvere problemi che siano di un gradino appena più elevato rispetto all'applicazione automatica di definizioni e formule. È chiaro che se da un lato va bene (e, anzi, è incoraggiato) che tra compagni di classe si discuta degli esercizi proposti, d'altro lato è auspicabile che ciascuno arrivi a risolvere i problemi per proprio conto e non collettivamente o attendendo la presentazione dello svolgimento da parte del docente o di altri. 

Some homework exercises related to the topics discussed in class are placed in the folder "materiale didattico". The homework problems play an important part in the study of the topics of the course; they are easily the most reliable check of your progress in assimilating the material in a manner which is sufficiently deep to allow you to solve problems which are at least one level removed from routine application of definitions and formulae. While it is quite O.K. (and even encouraged) for you to discuss the problems in general terms with your peers, it is expected that what you hand in is your own work, and not a joint project of several people or waiting for the solution from the professor or others. 

 

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Programma

(a) Spazi metrici e spazi normati.

  • Spazi metrici, completezza, teorema delle contrazioni.
  • Spazi normati. Equivalenza delle norme in spazi finito-dimensionali. Lo spazio delle funzioni continue su un compatto.

(b) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.

  • Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
  • Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. Studi qualitativi.

(c) Teoremi delle funzione implicite e di invertibilità locale. Teoria dei moltiplicatori di Lagrange.

(d) Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue

  • Il problema della misura di un insieme di Rn. Algebre e sigma-algebre. Misure astratte. Misure esterne. La misura di Lebesgue in Rn.
  • Funzioni misurabili. Integrazione di funzioni non negative. Teorema di Beppo Levi e lemma di Fatou. Integrazione di funzioni complesse. Teorema di convergenza dominata.
  • Integrali dipendenti da parametro.
  • Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue. 
  • Lo spazio L1. Risultati di densità in L1. 
  • Modi di convergenza. Inverso del teorema di convergenza dominata. Teoremi di Severini-Egoroff e di Lusin. 
  • Teoremi di Fubini e Tonelli. 

Il programma dettagliato è disponibile alla fine dello svolgimento del corso ed è collocato nella sezione "materiale didattico". 

(a) Metric spaces and normed spaces.

  • Metric spaces, completeness, Banach fixed point Theorem.
  • Normed spaces. Equivalence of norms in finite dimensional spaces. The space of continuous functions on a compact set.

(b) Ordinary differential equations: qualitative theory.

  • Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon.
  • Extension of solutions. Global existence.
  • Qualitative Theory.

(c) The Implicit Function Theorem, the Inverse Function Theorem, and Lagrange multipliers.

(d) Measure and Integration: Lebesgue Theory.

  • The problem of the measure of a set of Rn. Algebras and sigma-algebras. Abstract measures. Construction of measures (outer measures, Carathéodory measurability). The n-dimensional Lebesgue measure. 
  • Measurable functions. Integration of nonnegative functions. Monotone convergence theorem. Integration of complex functions. Fatou lemma and the dominated convergence theorem. 
  • The L1 space. Density of simple functions in L1. Density of continuous functions with compact support in L1(Rn).
  • Integrals depending on a parameter: continuity and differentiability with respect to the parameter.
  • Riemann integral versus Lebesgue integral. Improper integral versus Lebesgue integral. 
  • Modes of convergence: pointwise a.e. convergence, convergence in measure, L1 convergence, almost uniform convergence. The inverse of the dominated convergence theorem. Severini-Egoroff Theorem and Lusin Theorem.
  • Fubini and Tonelli Theorems. 

The detailed program is available at the end of the lecture course and is placed in the folder "materiale didattico". 

Testi consigliati e bibliografia

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  • V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
  • C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.
  • S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte seconda e parte terza, Zanichelli.
  • G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience (chapters 1 and 2)
  • Dispense sulla teoria della misura e dell'integrazione (a cura del docente)
  • Schede di esercizi nella sezione materiale didattico.

  • V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
  • C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.
  • S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte seconda e parte terza, Zanichelli.
  • G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience (chapters 1 and 2)
  • Notes on measure and integration theory (in Italian)
  • Worksheets in the folder "materiale didattico" 



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 03/05/2018 13:01

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