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Oggetto:
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Analisi Matematica DUE

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Mathematical Analysis DUE

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Anno accademico 2021/2022

Codice dell'attività didattica
MFN1616
Docenti
Prof. Marco Cappiello (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Doppia
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Calcolo differenziale in una o più variabili. Calcolo integrale in una variabile. Algebra lineare negli spazi multidimensionali.
Differential calculus in one or more variables. Integral calculus in one variabile. Linear algebra in muldimenisonal spaces.
Propedeutico a
Analisi Matematica III e IV, Geometria III, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica, Meccanica Razionale, insegnamenti di Analisi Numerica del terzo anno

Analisi Matematica III and IV, Geometria III, Calcolo delle Probabilità e Statistica
Matematica, Meccanica Razionale, Analisi Numerica.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

In questo insegnamento si introducono i concetti di analisi fondamentali per tutte le discipline matematiche; essi riguardano il calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili, completando quanto già visto nel corso di Analisi del primo anno.  Vengono introdotti gli spazi metrici e viene trattata la teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine e se ne illustrano i metodi risolutivi per alcune tipologie.  Vengono definite rigorosamente ed analizzate entità geometriche quali campi scalari e vettoriali, aree, superfici e volumi. Qui c'è il link ad un video con la presentazione del corso.

The course aims at introducing some key analysis concepts for all mathematical subjects; they concern the differential and integral calculus for functions of several variables, completing what has already been seen in the first year course of Analysis. We introduce metric spaces and treat qualitative theory of first order ordinary differential equations, illustrating some  solving methods. We define rigorously and analyze  geometric entities such as scalar and vector fields, areas, surfaces and volumes.  Here is a link to a video with  the course presentation

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

 Lo studente dovrà essere in grado di:

  • studiare continuità e differenziabilità di funzioni in più variabili;
  • conoscere le principali nozioni sulle curve nello spazio;
  • saper integrare le 1-forme lungo le curve e saperne stabilire il parallelismo con la teoria dei campi vettoriali;
  • conoscere e saper applicare il Teorema di Gauss-Green nel piano;
  • discutere il teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli e riconoscere il suo ruolo negli argomenti successivamente presentati;
  • conoscere ed applicare il teorema della funzione implicita, il teorema di invertibilità locale e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • conoscere i teoremi fondamentali sul problema di Cauchy e discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale; 
  • saper risolvere alcune tipologie di equazioni differenziali;
  • conoscere la teoria dell'integrazione di Riemann in più variabili e saper calcolare integrali doppi, tripli e superficiali. Teorema della divergenza

 The student must be able to:

  • study continuity and differentiability of functions of several variables;
  • know the main notions about curves;
  • know how to integrate 1-forms along curves and learn to establish parallelism with the theory of vector fields;
  • know the Gauss-Green Theorem in the plane and its applications;
  • discuss the Banach-Caccioppoli Fixed Point Theorem and recognize its role in the results subsequently presented;
  • know and apply the Implicit Function Theorem, the Local Inversion Theorem and the Theorem of Lagrange Multipliers;
  • know the fundamental theorems about Cauchy problem and discuss the qualitative properties of solutions of a differential equation;
  • know how to solve some types of differential equations;
  • know Riemann's theory of integration in multiple variables and calculate double, triple and surface integrals. Divergence Theorem

 

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento prevede lezioni teoriche, esercitazioni e un tutorato settimanale.

 

The course will consist in theoretical lectures, exercises lectures and a weekly tutoring.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

 

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale che devono sostenute nella stessa sessione. 

 

The exam consists of a written test and an oral exam that must be attended in the same session. 

 

 

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Attività di supporto

E' previsto un tutorato per supportare gli studenti in difficoltà nello svolgimento degli esercizi.

A tutorial is planned to support students in difficulties in carrying out the exercises.

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Programma

  • Richiami su limiti e continuità per funzioni di più variabili; campi vettoriali e calcolo differenziale. Regola della catena e formula di Taylor generale;
  • curve; integrazione lungo curve;
  • 1-forme differenziali e loro integrazione; Teorema di Gauss-Green nel piano;
  • spazi metrici, completezza delle funzioni continue su un compatto. Teorema delle contrazioni. Spazi normati e di Banach;
  • teorema delle funzioni implicite; teorema di inversione locale; teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • equazioni differenziali: problema di Cauchy, esistenza locale ed esistenza globale, studi qualitativi. Metodi risolutivi;
  • integrazione multipla: definizione di integrale multiplo; formule di riduzione; formula di cambiamento di variabili. Calcolo di integrali doppi e tripli e di superficie.

  • Limits and continuity for functions of several variables; differential calculus for vector fields. Chain rule and Taylor Formula;
  • curves; integration along curve;
  • 1-forms and their integration; Gauss-Green's Theorem in the plane;
  • Metric spaces, completeness of continuous functions on a compact. Banach Fixed Point Theorem. Normed and Banach spaces;
  • Implicit function Theorem; Local Inversion Theorem; Lagrange multipliers Theorem;
  • Differential equations: Cauchy problem, local and global existence, qualitative studies. Solving methods;
  • Multiple integrals:  definition and computation of double, triple and surface integrals, reduction formula; change of variables.

Testi consigliati e bibliografia

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 Altri testi:

  • S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 2. (3 parti), Zanichelli.
  • A. Bacciotti , F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Levrotto & Bella, Seconda edizione.
  • G. De Marco, Analisi due. Teoria ed esercizi, Decibel-Zanichelli.
  • E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, seconda edizione.

 Further textbooks:

  • S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 2. (3 parti), Zanichelli.
  • A. Bacciotti , F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Levrotto & Bella, Seconda edizione.
  • G. De Marco, Analisi due. Teoria ed esercizi, Decibel-Zanichelli.
  • E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, seconda edizione.



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Orario lezioni

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Note

 

Le lezioni si svolgeranno in presenza. Saranno fruibili anche in streaming. I link per il collegamento verranno riportati volta per volta sulla pagina moodle del corso così come tutto il materiale didattico.

 

 

Gli studenti degli Anni Accademici precedenti al 2017-2018 che desiderano sostenere l'esame da 9 CFU sul programma dell'Anno Accademico in cui hanno frequentato il corso sono tenuti ad avvisare i docenti al momento dell'iscrizione allo scritto e a presentare una copia del programma alla prova orale. Gli studenti di anni precedenti che devono sostenere l'esame da 12 CFU saranno esaminati sul programma dell'Anno Accademico in cui hanno frequentato il corso. Sono tenuti anch'essi a presentare una copia del programma alla prova orale.

Students of previous years with the 9 CFU exam wishing to take the 9 CFU exam on the Academic Year program in which they attended the course are required to notify the teachers at the time of enrollment and to present a copy of the program to the oral test. Students of previous years with the 12 CFU exam must notify it at the moment of enrollment in the written exam.  They are also required to submit a copy of the program to the oral test.

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Ultimo aggiornamento: 06/10/2021 13:44

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