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Analisi Matematica 4 (DM 270) - a.a. 2012/13

Oggetto:

Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN0338
Docenti
Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Gianluca Garello (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF B
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di perfezionare la conoscenza dell’analisi matematica di base, allo scopo di fornire maggiori strumenti agli studenti che intraprendono un percorso di studio della matematica di tipo teorico.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza degli strumenti di base delle serie di Fourier, conoscenza del teorema della funzione implicita locale per campi vettoriali, approfondimento sulle equazioni differenziali ordinarie lineari.

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Programma

1. Teorema dell'invertibilità locale e Teorema delle funzioni implicite per campi vettoriali (cf. [BCFTV],[PS], [R]). Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange [CS].

2. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Matrice Wronskiana. Teorema di Liouville (Cf.  [BCFTV],[PS],[HS], [HK]). Oscillazioni libere, smorzate e forzate. Risonanza (Cf. [PS]).

 3.  Equazioni differenziali autonome.  Le nozioni di punto di equilibrio e di stabilità (Cf. [HK],[HS]). Equazioni differenziali autonome in R^2. (Cf. [BCFTV],[HS]). Integrali primi. Orbite di un sistema piano. Studio dell'equazione del pendolo semplice nel piano delle fasi. Studio del modello preda-predatore di Lotka-Volterra nel piano delle fasi. (Cf. [BCFTV],[PS],[HS],[HK]).

4. Sistemi lineari piani del tipo x'=Ax. Esponenziale di una matrice. Studio della stabilità dell'origine mediante gli autovalori di A (Cf. [BCFTV],[PS],[HS]). Sistemi non lineari piani. Il metodo di linearizzazione (Cf. [HK]).

5. Serie di Fourier, convergenza puntuale e uniforme.

6. Serie di Fourier in spazi di Hilbert, convergenza in norma quadratica

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1. Local Inversion Theorem and Implicit function theorem for vector fields. Extrema with constraints, Lagrange multipliers.

2. Linear differential equations of order n. Systems of first order linear differential equations. Wronskian. Liouville theorem. Oscillations and the concept of resonance.

3. Autonomous ordinary differential equations. Equilibris and their stability. Equations in R^2. First integrals. Orbits of a planar systems. The simple pendulum and the Lotka-Volterra system in the phase plane. 

4. Planar linear systems of the form x'=Ax. Exponential of a matrix. Stability of the origin through the eigenvalues of A. Nonlinear planar systems. The linearization method.

5. Fourier expansions, pointwise and uniform convergence.

6. Fourier expansions in Hilbert spaces, convergence in quadratic norm.

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Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

-  Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica - Con elementi di geometria e calcolo vettoriale - Vol.2, Apogeo (Capitolo VIII).

- Cecconi-Stampacchia, Analisi Matematica 2, Liguori.

- Gasquet-Witomski, Fourier Analysis and Application, Springer Verlag.

- Gilardi, Analisi III, Mc. Graw Hill Italia.

-  Giusti, Analisi Matematica 2, Ed. Boringhieri G. De Marco Analisi 2, Ed. Zanichelli.

-  Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.

-  Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.

- Pagani-Salsa, Analisi matematica 2, Masson Editore.

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill.

           

 

                                                                                                                                   

 

 

 



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Note

ANALISI MATEMATICA 4, MFN0338 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

Modalità di verifica/esame: orale. Per entrambe le parti del corso, la prova d'esame consiste nello svolgimento di uno degli esercizi assegnati e in domande concernenti gli argomenti trattati a lezione.

Per una piena comprensione degli argomenti svolti dalla prof. Capietto e' indispensabile avere gia' (almeno) seguito Analisi Matematica 3. Il programma non presenta sovrapposizioni con il corso di Equazioni Differenziali, che tutta via e' consigliato soprattutto agli studenti interessati all'Analisi Matematica e alle sue applicazioni. Per informazioni, approfondimenti ed esercizi relativi alla parte svolta dalla prof. Capietto si veda

http://www.dm.unito.it/personalpages/capietto/AnalisiQuattro.html

I prerequisiti necessari per la parte riguardante le serie di Fourier consistono in una buona assimilazione dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1,2 e Geometria 1.



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Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 10:23

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