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Calcolo delle Probabilità 2

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Probability 2

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Anno accademico 2024/2025

Codice attività didattica
MFN0344
Docenti
Laura Lea Sacerdote (Titolare)
Cristina Zucca (Titolare)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Per una buona comprensione di questo insegnamento lo studente deve aver acquisito i concetti presentati nei corsi di Calcolo delle probabilità
e Statistica o di Calcolo delle Probabilità. Non è indispensabile aver già superato l'esame.

Concepts introduced in Probability class (or Probability and Statistics class) are mandatory for a good comprehension. It is not mandatory having passed the exam of Probability and Statistics but it is reccomendable.
Propedeutico a

I concetti introdotti in questo insegnamento sono molto utili a quanti proseguano con la laurea magistrale, specie se in in ambito probabilistico. Non sono però indispensabili e lo studente potrà recuperare alcune abilità che si acquisiscono in questo insegnamento autonomamente, seppure con un importante sforzo.

Contents of these classes are very useful to students that will be enrolled in a Master program. This is particularly true for those who want to specialize their studies in a probabilistic context. However this choice is not mandatory; some strong extra effort will be requested to the student at the Master level in absence of these contents.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di sviluppare negli studenti le capacità necessarie per formulare modelli probabilistici di situazioni di interesse applicativo. Lo studio di processi stocastici e delle relative proprietà verrà finalizzata alla formulazione di modelli relativi a situazioni reali. Tra gli obiettivi del corso vi è lo sviluppo delle capacità necessarie per la formulazione e lo studio di semplici modelli probabilistici e lo sviluppo di capacità di problem solving, l'abitudine al lavoro di gruppo e ad argomentare in supporto delle proprie tesi. Per la soluzione di esercizi si incoraggia l'utilizzo di software matematico.

Students will develop the necessary skills to write down simple
probabilistic models of applied interest. The introduction of stochastic
processes and their properties is always motivated by the wish to
develop models for observed phenomena. Aim of the course include the
development of the abilities for the formulation and the study of simple
stochastic models, for problem solving, for group working  and to support personal thesis with mathematical arguments. Use of mathematical software for homework exercises is encouraged.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente acquisirà una buona conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo e spazio discreti e svilupperà la capacità di utilizzare le
proprietà del Processo di Poisson e i processi Markoviani per formulare modelli e per risolvere problemi. Lo studente migliorerà anche alcuni soft skill.

Knowledge of methods for studying some classes of stochastic processes. Ability in using Poisson and Markov processes to model observed facts and for related problem solving . Development of abilities for studying stochastic models of applied interest. A set of soft skills will be improved.

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Programma

Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni (tempo medio per il riapparire di un pattern). 
Approfondimenti sulla Catene di Markov e loro utilizzo in ambito modellistico: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite; applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore, processi di diramazione. 
Distribuzione esponenziale e processo di Poisson: principali proprietà ed esempi di applicazioni: problemi di code, di affidabilità. Processo di Poisson composto .
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte. 
Moto Browniano e processi stazionari: distribuzione del massimo, tempo di prima uscita. Moto Browniano geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo delle opzioni e modello di Black and Scholes. 

 

Jointly distributed random variables;  conditional probability and conditional expectation; examples (mean time for patterns)

Insights about Markov chains and their modeling applications; Chapman Kolmogorov equation; classification of states; limiting probabilities; examples (random walk, gambler's ruin, branching processes).

 

The exponential distribution and the Poisson process; examples (queue problems; reliability problems); compound Poisson process.

Continuos-time Markov chains: birth and dead processes.

Brownian motion and stationary stochastic processes; maximum variable; geometric Brownian motion; example: Black and Scholes option pricing formula.

 

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Modalità di insegnamento

48 ore di lezioni sia teoriche che rivolte alla soluzione di problemi. 

Il corso in piattaforma accoglie: materiali delle lezioni; esercitazioni da svolgere, ove possibile; materiali didattici di approfondimento che potranno essere discussi in aula durante la lezione; materiali prodotti dalle/dagli studentesse/studenti nell’ambito di attività di approfondimento individuale e/o collaborativo.

 

Possibili variazioni verranno annunciate via email agli iscritti

 

48 hours of lessons including both theory and exercises devoted to problem solving. Teaching will include lessons in class (if possible) and material on Moodle. Discussions on different solutions to problems will use  in class work. Students will work individually or in group. 

 

Advices via email to enrolled students will be sent  (if any)

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

IMPORTANTE: 

Durante il corso verranno distribuiti 4 fogli di esercizi la cui soluzione è parte integrante dell'esame. Prima dell'apertura della sessione esami lo studente verrà informato della valutazione globale degli esercizi consegnati. Tale voto risulterà il voto massimo per l'esame, qualora lo studente decida di non risolvere esercizi durante la seduta di esame. Chi non avesse consegnato gli esercizi durante l'anno o chi non fosse soddisfatto della valutazione ottenuta, dovrà risolvere degli esercizi prima di sostenere la parte orale dell'esame, che comprende due domande sulla teoria. Il voto finale comprende la valutazione della soluzione di esercizi e l'esito della prova orale. E' ammesso il lavoro di gruppo per la soluzione degli esercizi distribuiti durante l'anno.

IMPORTANT: 
During the classes period exercises are regularly assigned (4 sheets of exercises). Grading of these exercises is part of the final grade that cannot overtake this initial grade. Oral exam: solution of exercises is request during the test to students that did not the homeworks during the semester or to those wishing to improve their initial grade. Group work is admitted to solve assigned exercises.  

Testi consigliati e bibliografia



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Libro
Titolo:  
Introduction to Probability Models
Anno pubblicazione:  
2014
Editore:  
Academic Press
Autore:  
S. Ross
ISBN  
Capitoli:  
1-6, 10
Note testo:  
Esistono edizioni successive, vanno tutte bene
Obbligatorio:  
Si
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Ulteriore testo (complementare):

Title: Introduction to Probability for Computing 1

Author: Mor Harchol-Balter

ISBN: 9781009309073

 



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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
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    Ultimo aggiornamento: 15/07/2024 16:45

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